2006-2007学年江苏省无锡市高二（下）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

矩阵的逆矩阵是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

从不同品牌的4台“快译通”和不同品牌的5台录音机中任意抽取3台，其中至少要有“快译通”和录音机各1台，则不同的取法有（ ）
A．35种
B．70种
C．84种
D．140种

3. 难度：中等

若随机变量X～B（n，0.6），且E（X）=3，则P（X=1）的值是（ ）
A．2×0.4⁴
B．2×0.4⁵
C．3×0.4⁴
D．3×0.6⁴

4. 难度：中等

船员人数关于船的吨位的线性回归方程是船员人数吨位．如果两艘轮船吨位相差1000吨．则船员平均人数相差（ ）
A．40
B．57
C．60
D．95

5. 难度：中等

在极坐标系中，直线与直线关于极轴对称，则直线l的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设一随机试验的结果只有A和，P（A）=P，令随机变量X=，则X的方差为（ ）
A．P
B．2p（1-p）
C．1-p
D．p（1-p）

7. 难度：中等

已知不等式（x+y）（+）≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

8. 难度：中等

以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）
A．70个
B．64个
C．58个
D．52个

9. 难度：中等

设复数（i为虚数单位），则C₈+C₈¹•z+C₈²•z²+C₈³•z³+C₈⁴•z⁴+C₈⁵•z⁵+C₈⁶•z⁶+C₈⁷•z⁷=（ ）
A．16
B．15
C．16i
D．16-i

10. 难度：中等

把正奇数数列{2n-1}的各项从小到大依次排成如下三角形状数表记M（s，t）表示该表中第s行的第t个数，则表中的奇数2007对应于．（ ）

A．M（45，14）
B．M（45，24）
C．M（46，14）
D．M（46，15）

二、填空题

11. 难度：中等

在极坐标系中，两条直线ρcos（θ-α）=0与ρsin（θ-α）=a的位置关系是    ．

12. 难度：中等

抛掷两颗质量均匀的骰子各一次，向上的点数不同时，其中有一个点数为4的概率为    ．

13. 难度：中等

若复数z满足，则复数z=    ．

14. 难度：中等

若曲线x²+4xy+2y²=1在矩阵的作用下变换成曲线x²-2y²=1，则a+b的值为    ．

15. 难度：中等

定义一种运算“*”，它对于整数n满足以下运算性质：（1）2*1001=1；（2）（2n+2）*1001=3•[（2n）*1001]，则2008*1001的值是     ．

16. 难度：中等

如图，已知命题：若矩形ABCD的对角线BD与边AB和BC所成角分别为α，β，则cos²α+cos²β=1，若把它推广到长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，试写出相应命题形式：    ．

三、解答题

17. 难度：中等

用0，1，2，3，4，5这六个数字：
（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？

18. 难度：中等

已知的展开式中，某一项的系数恰好是它前一项系数的2倍，是它后一项系数的倍，求该展开式中二项式系数最大的项．

19. 难度：中等

某保险公司的统计表明，新保险的汽车司机中可划分为两类：第一类人易出事故，其在第一年内出事故的概率为0.4，第二类人为谨慎的人，其在第一年内出事故的概率为0.2．假定在新投保的3人中有一人是第一类人，2人是第二类人，一年内这3人出事故的人数记为ξ，（这3人出事故相互之间没有影响）
（1）求3人都不出事故的概率．
（2）求ξ的分布列及其数学期望和方差．

20. 难度：中等

过抛物线y²=4x的焦点F引两条互相垂直的直线AB、CD交抛物线于A、B、C、D四点．
（1）求当|AB|+|CD|取最小值时直线AB、CD的倾斜角的大小
（2）求四边形ACBD的面积的最小值．

21. 难度：中等

函数数列{f_n（x）}满足：，f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]
（1）求f₂（x），f₃（x）；
（2）猜想f_n（x）的表达式，并证明你的结论．

22. 难度：中等

当兔子和狐狸处于同一栖息地时，忽略其他因素，只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响，为了简便起见，不妨做如下假设：
（1）由于自然繁殖，兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15%；
（2）由于狐狸吃兔子，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增加兔子数的0.1倍；
（3）第n年时，兔子数量R_n用表示，狐狸数量用F_n表示；
（4）初始时刻（即第0年），兔子数量有R=100只，狐狸数量有F=30只．
请用所学知识解决如下问题：
（1）列出兔子与狐狸的生态模型；
（2）求出R_n、F_n关于n的关系式；
（3）讨论当n越来越大时，兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态，说明你的理由．