Question

过抛物线y²=4x的焦点F引两条互相垂直的直线AB、CD交抛物线于A、B、C、D四点．
（1）求当|AB|+|CD|取最小值时直线AB、CD的倾斜角的大小
（2）求四边形ACBD的面积的最小值．

Answer

（1）考虑到过抛物线y2=4x的焦点F引两条互相垂直的直线AB、CD，利用抛物线的极坐标方程解决．先以F为极点，FX为极轴，建立极坐标系，写出抛物线的极坐标方程，利用极径表示出|AB|+|CD|，利用三角函数求解即得；
（2）利用极径结合三角形的面积公式表示出四边形ACBD的面积，利用三角函数的性质即可求解．
【解析】
（1）F为极点，FX为极轴，建立极坐标系，
则抛物线的极坐标方程可写为…3’
设A（ρ1，θ），则B（ρ2，π+θ）
∴…2’
同理…2’
∴…2’
故当时，|AB|+|CD|取最小值16，此时AB、CD的倾斜角分别为，．
（2）|AB|．|CD|==…2’
易知：当时，（SABCD）min=32
注：若以直角坐标系求解可同样给分…4’