2008-2009学年上海市十四校高三（上）第一次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

设集合=    ．

2. 难度：中等

不等式的解是    ．

3. 难度：中等

=    ．

4. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-1，则{a_n}的通项公式为a_n=    ．

5. 难度：中等

函数的单调递增区间是    ．

6. 难度：中等

若函数y=f（x）存在反函数y=f^-1（x），且函数y=2x-f（x）的图象过点（2，1），则函数y=f^-1（x）-2x的图象一定过点    ．

7. 难度：中等

如图所示，以圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，则该圆锥与圆柱等底等高．若圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆柱的侧积面与圆锥的侧面积之比为    ．

8. 难度：中等

下面四个函数：①；②；③；④中，同时具有“最小正周期是对称”两个性质的函数序号是    ．

9. 难度：中等

高三（1）班准备在本班7名演讲选手中抽取5人参加班会课的演讲比赛（每人演讲一场），若甲、乙两人一定被选中，且甲的出场顺序排在乙的前面（不一定相邻），则高三（1）班5名参加演讲的选手出场的顺序有    种可能（用数字作答）．

10. 难度：中等

已知数列{a_n}同时满足下面两个条件：①不是常数列；②它的极限就是这个数列中的项．则此数列的一个通项公式a_n=    ．

11. 难度：中等

在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是    ．

12. 难度：中等

当0≤x≤1时，如果关于x的不等式x|x-a|＜2恒成立，那么a的取值范围是    ．

二、选择题

13. 难度：中等

下列四个函数中，图象如图所示的只能是（ ）
A．y=x+lg
B．y=x-lg
C．y=-x+lg
D．y=-x-lg

14. 难度：中等

已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
D．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α

15. 难度：中等

若数列为（ ）
A．递增数列
B．递减数列
C．从某项后为递减
D．从某项后为递增

16. 难度：中等

为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为aa₁a₂，a_i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为haa₁a₂h₁，其中h=a⊕a₁，h₁=h⊕a₂，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ）
A．11010
B．01100
C．10111
D．00011

三、解答题

17. 难度：中等

设△ABC的内角∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c，且a²+b²-c²=2absin2C，求角C的大小．

18. 难度：中等

杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家、杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律．如图是一个11阶杨辉三角：
（1）求第20行中从左到右的第4个数；
（2）若第n行中从左到右第14与第15个数的比为，求n的值；
（3）求n阶（包括0阶）杨辉三角的所有数的和；
（4）在第3斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第4斜列中，第5个数为35．显然，1+3+6+10+15=35．事实上，一般地有这样的结论：第m斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第m+1斜列中第k个数．试用含有m、k（m，k∈N×）的数学公式表示上述结论，并给予证明．

第0行												1	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	第1斜列
第1行											1		1	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	第2斜列
第2行										1		2		1	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	第3斜列
第3行									1		3		3		1	…	…	…	…	…	…	…	…	…	第4斜列
第4行								1		4		6		4		1	…	…	…	…	…	…	…	…	第5斜列
第5行							1		5		10		10		5		1	…	…	…	…	…	…	…	第6斜列
第6行						1		6		15		20		15		6		1	…	…	…	…	…	…	第7斜列
第7行					1		7		21		35		35		21		7		1	…	…	…	…	…	第8斜列
第8行				1		8		28		56		70		56		28		8		1	…	…	…	…	第9斜列
第9行			1		9		36		84		126		126		84		36		9		1	…	…	…	第10斜列
第10行		1		10		45		120		210		252		210		120		45		10		1	…	…	第11斜列
第11行	1		11		55		165		330		462		462		330		165		55		11		1	…	第12斜列
										11阶杨辉三角

19. 难度：中等

如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1．
（1）求直线AE与平面CDE所成角的大小（用反三角函数值表示）；
（2）求多面体ABCDE的体积．

20. 难度：中等

国际上常用恩格尔系数（记作n）来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式为：，各种类型家庭的n如下表所示：

庭类型	贫困	温饱	小康	富裕	最富裕
n	n＞60%	50%＜n≤60%	40%＜n≤50%	30%＜n≤40%	n≤30%

根据某市城区家庭抽样调查统计，2003年初至2007年底期间，每户家庭消费支出总额每年平均增加720元，其中食品消费支出总额每年平均增加120元．
（1）若2002年底该市城区家庭刚达到小康，且该年每户家庭消费支出总额9600元，问2007年底能否达到富裕？请说明理由．
（2）若2007年比2002年的消费支出总额增加36%，其中食品消费支出总额增加12%，问从哪一年底起能达到富裕？请说明理由．

21. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切n∈N^*，点（n，S_n）在函数f（x）=x²+x的图象上．
（1）求a_n的表达式；
（2）设，使得不等式A_n＜a对一切n∈N^*都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由；
（3）将数列{a_n}依次按1项，2项循环地分为（a₁），（a₂，a₃），（a₄），（a₅，a₆），（a₇），（a₈，a₉），（a₁₀），
…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₁₀₀的值；
（4）如果将数列{a_n}依次按1项，2项，3项，4项循环；分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，提出同（3）类似的问题（（3）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？