2009-2010学年江苏省南通市启东中学高二（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

“因为四边形ABCD是菱形，所以四边形ABCD的对角线互相垂直”，补充以上推理的大前提是    ．

2. 难度：中等

复数等于     ．

3. 难度：中等

椭圆+=1的焦点为F₁，F₂，P为椭圆上一点，若|PF₁|=2，则|PF₂|=    ．

4. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=1，，试归纳出这个数列的一个通项公式    ．

5. 难度：中等

若复数z=a²-1+（a+1）i（a∈R）是纯虚数，则|z|=    ．

6. 难度：中等

已知Z₁，Z₂是复平面上两个定点，点Z在线段Z₁Z₂的垂直平分线上，根据复数的几何意义，则点Z，Z₁，Z₂所对应的复数z，z₁，z₂满足的关系式为    ．

7. 难度：中等

过原点且倾斜角为60°的直线被圆x²+y²-4y=0所截得的弦长为    ．

8. 难度：中等

直线l过点（-1，2）且与直线2x-3y+8=0垂直，则l的方程是    ．

9. 难度：中等

点P（x，y）是椭圆2x²+3y²=12上的一个动点，则x+2y的最大值为    ．

10. 难度：中等

若抛物线y²=4x上一点P到其焦点的距离为3，则点P的横坐标等于    ．

11. 难度：中等

设f（x）=，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f（-5）+f（-4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）的值为   

12. 难度：中等

圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为    ．

13. 难度：中等

设F₁，F₂分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F₁AF₂=90°，且|AF₁|=3|AF₂|，则双曲线的离心率为    ．

14. 难度：中等

给出如下三角形数表：

此数表满足：
①第n行首尾两数均为n，
②表中数字间的递推关系类似于杨辉三角，即除了“两腰”上的数字以外，每一个数都等于它上一行左右“两肩”上的两数之和．第n（n≥2）行第n-1个数是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知a，b都是正数，并且a≠b，求证：a⁵+b⁵＞a²b³+a³b²．

16. 难度：中等

在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证△ABC为等边三角形．

17. 难度：中等

已知圆O：x²+y²=4和点M（1，a），
（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；
（2）若，过点M的圆的两条弦AC．BD互相垂直，求AC+BD的最大值．

18. 难度：中等

已知复数z满足：|z|=1+3i-z，求的值．

19. 难度：中等

求同时满足下列两个条件的所有复数z：
①z+是实数，且1＜z+≤6；
②z的实部和虚部都是整数．

20. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于直线l₁，垂足为点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（3）设C₂与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C₂上，且满足，求的取值范围．