2010-2011学年湖南省衡阳八中高三（下）第九次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数图象的对称轴方程可以是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

设实数a∈R且（a-i）•i（其中i是虚数单位）为正实数，则a的值为（ ）
A．-1
B．0
C．0或-1
D．1

3. 难度：中等

已知向量、满足，且，则=（ ）
A．10
B．20
C．21
D．30

4. 难度：中等

已知M=，由如程序框图输出的S=（ ）

A．0
B．
C．1
D．

5. 难度：中等

给出下列四个命题：
①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；    
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中为真命题的是（ ）
A．①和②
B．②和③
C．③和④
D．②和④

6. 难度：中等

若不等式对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[-1，1]
B．（-1，1）
C．（-2，2）
D．[-2，2]

7. 难度：中等

如图，已知双曲线，A，C分别是虚轴的上、下顶点，B是左顶点，F为左焦点，直线AB与FC相交于点D，则∠BDF的余弦值是（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

定义方程f（x）=f′（x）的实数根x叫做函数f（x）的“新驻点”，如果函数g（x）=x，h（x）=lnx，φ（x）=cosx（x∈（，π））的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是（ ）
A．α＜β＜γ
B．α＜γ＜β
C．γ＜α＜β
D．β＜α＜γ

二、填空题

9. 难度：中等

设集合A={4，5，7}，B={3，4，7，8}全集U=A∪B，则集合C_∪（A∩B），=    ．

10. 难度：中等

的展开式中的常数项是    ．（用数字作答）

11. 难度：中等

已知平面区域Ω={（x，y）|x²+y²≤1}，，若在区域Ω上随机投一点P，则点P落在区域M的概率为：    ．

12. 难度：中等

已知△ABC三边长分别为1、2、a（其中a∈R⁺），“△ABC为锐角三角形”的充要条件是：“a∈    ”．

13. 难度：中等

有以下命题：设a_n1，a_n2，…a_nm是公差为d的等差数列{a_n}中任意m项，若（p∈N*，r∈N且r＜m），则d；特别地，当r=0时，称a_p为a_n1，a_n2，…a_nm的等差平均项．
（1）已知等差数列{a_n}的通项公式为a_n=2n，根据上述命题，则a₁，a₃，a₁₀，a₁₈的等差平均项为：    ；
（2）将上述真命题推广到各项为正实数的等比数列中：设a_n1，a_n2，…a_nm是公比为q的等比数列{a_n}中任意m项，若（p∈N*，r∈N且r＜m），则    ；特别地，当r=0时，称a_p为a_n1，a_n2，…a_nm的等比平均项．

三、解答题

14. 难度：中等

那霉素发酵液生物测定，一般都规定培养温度为（37±1）℃，培养时间在16小时以上，某制药厂为了缩短时间，决定优选培养温度，试验范围固定在29～50C，精确度要求±1°C，用分数法安排实验，令第一试点在t₁处，第二试点在t₂处，则 t₁+t₂=______℃．

15. 难度：中等

（几何证明选讲）如图，已知PA是圆O的切线，切点为A，直线PO交圆O于B，C两点，AC=2，∠PAB=120°，则圆O的面积为______．

16. 难度：中等

在直角坐标系中，曲线C₁的方程为（t为参数），若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C₂：ρcosθ=1与C₁的焦点之间的距离为______．

17. 难度：中等

某中学将100名髙一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A、B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如图）．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．

（I）从乙班随机抽取2名学生的成绩，记“成绩优秀”的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（II）根据频率分布直方图填写下面2x2列联表，并判断是否有95%的把握认为：“成绩优秀”与教学方式有关．

	甲班（A方式）	乙班（B方式）	总计
成绩优秀
成绩不优秀
总计

附：K²=（此公式也可写成x²=）

18. 难度：中等

一个几何体是由圆柱ADD₁A₁和三棱锥E-ABC组合而成，点A、B、C在圆柱上底面圆O的圆周上，EA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC，其正视图、侧视图如图所示．

（1）求证：AC⊥BD；
（2）求锐二面角A-BD-C的大小．

19. 难度：中等

已知椭圆的离心率．直线x=t（t＞0）与曲线E交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若圆C与y轴相交于不同的两点A，B，且△ABC的面积为，求圆C的标准方程．

20. 难度：中等

世界大学生运动会圣火台如图所示，圣火盆是半径为1m的圆，并通过三根长度相等的金属支架PA₁、PA₂、PA₃（A₁、A₂、A₃是圆上的三等分点）将其水平放置，另一根金属支架PQ垂直于地面，已知圣火盘的圆心O到地面的距离为m，四根金属支架的总长度为ym．
（1）设∠OPA₃=θ（rad），请写出y关于θ的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）试确定点P的位置，使四根金属支架的总长度最短．（参考数值：，其中α≈1.23）

21. 难度：中等

定义：若数列{A_n}满足A_n+1=A_n²，则称数列{A_n}为“平方数列”．已知数列{a_n}中，a₁=2，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=2x²+2x的图象上，其中n为正整数．
（1）证明：数列{2a_n+1}是“平方数列”，且数列{lg（2a_n+1）}为等比数列．
（2）设（1）中“平方数列”的前n项之积为T_n，即T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）…（2a_n+1），求数列{a_n}的通项及T_n关于n的表达式．
（3）记，求数列{b_n}的前n项之和S_n，并求使S_n＞4020的n的最小值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．
（1）求实数a的值；
（2）若k∈Z，且对任意x＞1恒成立，求k的最大值；
（3）当n＞m≥4时，证明（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ．