2009-2010学年江苏省南京市高三（上）期末数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，求实数c的最小值；
（3）若过点M（2，m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

2. 难度：中等

已知二次函数g（x）对任意实数x都满足g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1，且g（1）=-1．令．
（1）求g（x）的表达式；
（2）若∃x＞0使f（x）≤0成立，求实数m的取值范围；
（3）设1＜m≤e，H（x）=f（x）-（m+1）x，证明：对∀x₁，x₂∈[1，m]，恒有|H（x₁）-H（x₂）|＜1．

3. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx+1，对于任意的实数x₁、x₂（x₁≠x₂），都有成立，且f（x+2）为偶函数．
（1）求a的取值范围；
（2）求函数y=f（x）在[a，a+2]上的值域；
（3）定义区间[m，n]的长度为n-m．是否存在常数a，使的函数y=f（x）在区间[a，3]的值域为D，且D的长度为10-a³．

4. 难度：中等

已知正方形ABCD的中心在原点，四个顶点都在函数f（x）=ax³+bx（a＞0）图象上．
（1）若正方形的一个顶点为（2，1），求a，b的值，并求出此时函数的单调增区间；
（2）若正方形ABCD唯一确定，试求出b的值．

5. 难度：中等

f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D中的任意两数x₁，x₂，恒有f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂），则称f（x）为定义在D上的C函数．
（Ⅰ）试判断函数f₁（x）=x²，中哪些是各自定义域上的C函数，并说明理由；
（Ⅱ）已知f（x）是R上的C函数，m是给定的正整数，设a_n=f（n），n=0，1，2，…，m，且a=0，a_m=2m，记S_f=a₁+a₂+…+a_m．对于满足条件的任意函数f（x），试求S_f的最大值；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中S_f的最大值记为h（m），且h（1）+h（2）+…+h（m）≤a对任意给定的正整数m恒成立，试求a的取值范围．

6. 难度：中等

设函数．
（1）当m=1，x＞1时，求证：f（x）＞0；
（2）若对于，均有f（x）＜2成立，求实数m的取值范围．

7. 难度：中等

已知函数f（x）=x（x-a）²，g（x）=-x²+（a-1）x+a（其中a为常数）；
（1）如果函数y=f（x）和y=g（x）有相同的极值点，求a的值；
（2）设a＞0，问是否存在，使得f（x）＞g（x），若存在，请求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）记函数H（x）=[f（x）-1]•[g（x）-1]，若函数y=H（x）有5个不同的零点，求实数a的取值范围．

8. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0，x∈R）为奇函数，且f（x）在x=1处取得极大值2．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）记，求函数y=g（x）的单调区间；
（3）在（2）的条件下，当k=2时，若函数y=g（x）的图象在直线y=x+m的下方，求m的取值范围．