Question

f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D中的任意两数x₁，x₂，恒有f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂），则称f（x）为定义在D上的C函数．
（Ⅰ）试判断函数f₁（x）=x²，中哪些是各自定义域上的C函数，并说明理由；
（Ⅱ）已知f（x）是R上的C函数，m是给定的正整数，设a_n=f（n），n=0，1，2，…，m，且a=0，a_m=2m，记S_f=a₁+a₂+…+a_m．对于满足条件的任意函数f（x），试求S_f的最大值；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中S_f的最大值记为h（m），且h（1）+h（2）+…+h（m）≤a对任意给定的正整数m恒成立，试求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）f1（x）=x2是C函数，直接找f（αx1+（1-α）x2）-αf（x1）-（1-α）f（x2），推出其小于等于0即可；不是C函数，采用举反例的方法即可，x1=-3，x2=-1，．
（Ⅱ）先根据定义求出an=f（n）的范围，再结合定义即可求出Sf的最大值；
（Ⅲ）结合（Ⅱ）中Sf的最大值为m2+m，可得h（m）随着自变量的增大，函数值也在增大，所以h（m）没有最大值，其和也没有最大值；即可说明所求的a不存在．
【解析】
（Ⅰ）f1（x）=x2是C函数，证明如下：
对任意实数x1，x2及α∈（0，1），
有f（αx1+（1-α）x2）-αf（x1）-（1-α）f（x2）=（αx1+（1-α）x2）2-αx12-（1-α）x22=-α（1-α）x12-α（1-α）x22+2α（1-α）x1x2=-α（1-α）（x1-x2）2≤0．
即f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2）．
∴f1（x）=x2是C函数．
不是C函数，证明如下：
取x1=-3，x2=-1，，
则f（αx1+（1-α）x2）-αf（x1）-（1-α）f（x2）=．
即f（αx1+（1-α）x2）＞αf（x1）+（1-α）f（x2）．
∴不是C函数．
（Ⅱ） 对任意0≤n≤m，取x1=m，x2=0，．
∵f（x）是R上的C函数，an=f（n），且a=0，am=2m
∴an=f（n）=f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2）=．
那么Sf=a1+a2+…+am≤2×（1+2+…+m）=m2+m．
可证f（x）=2x是C函数，且使得an=2n（n=0，1，2，…，m）都成立，此时Sf=m2+m．
综上所述，Sf的最大值为m2+m．
（Ⅲ）∵h（1）+h（2）+…+h（m）≤a对任意给定的正整数m恒成立
所以只需要a大于等于其最大值即可．
因为h（m）=m2+m，当m是正整数时，函数值随自变量的增大而增大；
所以h（m）没有最大值．
故h（1）+h（2）+…+h（m）也没有最大值．
所以所求a不存在．