Question

已知正方形ABCD的中心在原点，四个顶点都在函数f（x）=ax³+bx（a＞0）图象上．
（1）若正方形的一个顶点为（2，1），求a，b的值，并求出此时函数的单调增区间；
（2）若正方形ABCD唯一确定，试求出b的值．

Answer

（1）先依据待定系数法求a，b的值，得函数的解析式，再求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间．
（2）设正方形ABCD对角线AC所在的直线方程为y=kx，则其斜率唯一确定，转化为二元方程只有唯一实数根，利用根的判别式求解即可．
【解析】
（1）因为一个顶点为（2，1），
所以必有另三个顶点（-2，-1），（1，-2），（-1，2），
将（2，1），（1，-2）代入y=ax3+bx，得，．（4分）
所以．
因为，令f′（x）＞0，得或，
所以函数f（x）单调增区间为和．（6分）
（2）设正方形ABCD对角线AC所在的直线方程为y=kx（k≠0），
则对角线BD所在的直线方程为．
由解得，
所以，
同理，，
又因为AO2=BO2，所以．（10分）
即，即．
令得t2-bt+2=0
因为正方形ABCD唯一确定，则对角线AC与BD唯一确定，于是值唯一确定，
所以关于t的方程t2-bt+2=0有且只有一个实数根，又．
所以△=b2-8=0，即．（14分）
因为，a＞0，所以b＜k；又，所以，故b＜0．
因此；
反过来时，，，
于是，；或，
于是正方形ABCD唯一确定．（16分）