《第2章 数列》、《第3章 不等式》2010年单元测试卷（陈经纶中学）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点，若青蛙从5这点开始跳，则经2009次跳后它停在的点所对应的数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．5

2. 难度：中等

已知等比数列{a_n}中，a₂=1，则其前3项的和S₃的取值范围是（ ）
A．（-∞，-1]
B．（-∞，0）∪（1，+∞）
C．[3，+∞）
D．（-∞，-1]∪[3，+∞）

3. 难度：中等

设a＞0，b＞0，a+b+ab=24，则（ ）
A．a+b有最大值8
B．a+b有最小值8
C．ab有最大值8
D．ab有最小值8

4. 难度：中等

数列{a_n}满足：a₁=1，且对任意的m，n∈N^*都有：a_m+n=a_m+a_n+mn，则+++…+=（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

5. 难度：中等

设x，y∈R，且满足x-y+2=0，则的最小值为    若x，y又满足y＞4-x，则的取值范围是    ．

6. 难度：中等

若A，B，C为△ABC的三个内角，则的最小值为    ．

7. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意n∈N^*，都有S_n=a_n-，且1＜S_k＜9（k∈N^*），则a₁=    ，k=    ．

8. 难度：中等

若f（n）表示n²+1（n∈N^*）的各位数字之和，如：6²=36，36+1=37，3+7=10，则f（6）=10，记f₁（n）=f（n），f₂（n）=f（f₁（n）），…f_k+1（n）=f（f_k（n））（k∈N^*），则f₂₀₀₉（8）=    ．

9. 难度：中等

设函数，计算和=    ．

10. 难度：中等

已知点P（x，y）的坐标满足设A（2，0），则（O为坐标原点）的最大值为    ．

三、解答题

11. 难度：中等

已知数列{a_n}中的相邻两项a_2k-1、a_2k是关于x的方程x²-（3k+2^k）x+3k•2^k=0的两个根，且a_2k-1≤a_2k（k=1，2，3，…）．
（I）求a₁，a₃，a₅，a₇及a_2n（n≥4）（不必证明）；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前2n项和S_2n．

12. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁=，a₂=，a_n+1=2a_n-a_n-1（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}满足b₁＜0，3b_n-b_n-1=n（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求证：数{b_n-a_n}为等比数列；
（Ⅱ）求证：数列{b_n}是单调递增数列；
（Ⅲ）若当且仅当n=3时，S_n取得最小值，求b₁的取值范围．

13. 难度：中等

已知各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，a₂+a₄=2a₃+4，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求数{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数{b_n}的前n项和T_n，令b_n=a_n²，其中n∈N^*，试比较与的大小，并加以证明．

14. 难度：中等

已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿx+b_n=0（n∈N^*）的两实根，且a₁=1．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设S_n是数列{a_n}的前n项和，求S_n；
（3）问是否存在常数λ，使得b_n＞λS_n对∀n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．

15. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=，且a_n+2=．
（I）求证：数列为等差数列；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）求下表中前n行所有数的和S_n．

16. 难度：中等

数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，．
（1）求a₃，a₄，a₅，a₆；
（2）设，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n；
（3）在（2）的条件下，证明当n≥6时，．