(1)先根据an,an+1是关于x的方程x2-2n•x+bn=0(n∈N*)的两实根,得到:,再计算的值,从而得出数列是首项为,公比为-1的等比数列;
(2)由(1)得,再利用等比数列的求和公式即可求Sn;
(3)由(2)得,要使bn>λSn,对∀n∈N*都成立,下面对n进行分类讨论:①当n为正奇数时,②当n为正偶数时,分别求得λ的取值范围,最后综上所述得到,存在常数λ,使得bn>λSn对∀n∈N*都成立,λ的取值范围.
【解析】
(1)证明:∵an,an+1是关于x的方程x2-2n•x+bn=0(n∈N*)的两实根,
∴(2分)
∵.
故数列是首项为,公比为-1的等比数列.(4分)
(2)由(1)得,
即∴=.(8分)
(3)由(2)得
要使bn>λSn,对∀n∈N*都成立,
即(*)(11分)
①当n为正奇数时,由(*)式得:
即
∵2n+1-1>0,∴对任意正奇数n都成立,
故为奇数)的最小值为1.
∴λ<1.(13分)
②当n为正偶数时,由(*)式得:,即
∵2n-1>0,∴对任意正偶数n都成立,
故为偶数)的最小值为.
∴.(15分)
综上所述得,存在常数λ,使得bn>λSn对∀n∈N*都成立,λ的取值范围为(-∞,1).(16分)