2009-2010学年北京市西城区高二（下）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|0＜x＞2}，B={x|x＞1}，那么集合=（ ）
A．{x|0＜x＜1}
B．{x|0＜x≤1}
C．{x|1＜x＜2}
D．{x|i≤x＜2}

2. 难度：中等

已知命题p：∀x∈R，|x+1|≥0，那么命题-p为（ ）
A．∃x∈R，|x+1|＜0
B．∀x∈R，|x+1|＜0
C．∃x∈R，|x+1|≤0
D．∀x∈R，|x+1|≤0

3. 难度：中等

下列函数中，图象关于y轴对称的是（ ）
A．y=2
B．y=2^x
C．y=x²
D．y=log₂

4. 难度：中等

函数f（x）=x²•e^x的单调递减区间是（ ）
A．（-2，0）
B．（-∞，-2），（0，+∞）
C．（0，2）
D．（-∞，0），（2，+∞）

5. 难度：中等

已知五个实数-16，a₁，a₂，a₃，-1成等比数列，那么a₁+a₂+a₃等于（ ）
A．-6或-14
B．6或14
C．-6或14
D．6或-14

6. 难度：中等

“b≥-1”是“函数y=x²+bx+1（x∈[1，+∞））为增函数”的（ ）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件

7. 难度：中等

数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，a_n+1•a_n=nλ（λ为常数，n∈N^*），则a₄等于（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

设集合S={A，A₁，A₂，A₃，A₄}，在S上定义运算⊙为：A_i⊙A_j=A_k，其中k=|i-j|，i，j=0，1，2，3，4．那么满足条件（A_i⊙A_j）⊙A₂=A₁（A_i，A_j∈S）的有序数对（i，j）共有（ ）
A．12个
B．8个
C．6个
D．4个

二、填空题

9. 难度：中等

不等式的解集是    ．

10. 难度：中等

已知函数y=3^x的反函数为y=f（x），则f（9）=    ．

11. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₁+a₂=1，a₃+a₄=5，那么a₅=    ．

12. 难度：中等

函数 ，若f（x）=1，则x=    ．

13. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n-1（n∈N^*），那么数列{a_n}的通项公式为a_n=    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域是R，对任意x∈R，f（x+2）-f（x）=0，当x∈[-1，1）时，f（x）=x．关于函数f（x）给出下列四个命题：
①函数f（x）是奇函数；
②函数f（x）是周期函数；
③函数f（x）的全部零点为x=2k，k∈Z；
④当x∈[-3，3）时，函数的图象与函数f（x）的图象有且只有三个公共点．
其中全部真命题的序号是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₂-1，S₄=-8．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若S_n=-99，求n．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-3ax-1在x=-1处取得极值．
（I）求实数a的值；
（II）当x∈[-2，1）时，求函数f（x）的值域．

17. 难度：中等

已知函数，其中x∈（o，+∞）．
（I）在给定的坐标系中，画出函数f（x）的图象；
（II）设0＜a＜b，且f（a）=f（b），证明：ab＞1．

18. 难度：中等

已知函数．
（I）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处切线的斜率；
（II）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间．

19. 难度：中等

从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加．
（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为a_n万元，旅游业总收入为b_n万元．写出a_n，b_n的表达式；
（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？

20. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x-x（e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若n∈N^*，证明：．