2010-2011学年北京市房山区高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|x²-2x-3＞0}，B={x|2＜x＜4}，那么集合C_UA∩B=（ ）
A．{x|-1≤x≤4}
B．{x|2＜x≤3}
C．{x|2≤x＜3}
D．{x|-1＜x＜4}

2. 难度：中等

i是虚数单位，若，则a+b的值是（ ）
A．0
B．
C．1
D．2

3. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个边长为2的正三角形，俯视图是一正方形，那么该几何体的侧视图 的面积为（ ）
A．1
B．2
C．2
D．4

4. 难度：中等

甲、乙两名运动员的5次测试成绩如下图所示：

甲	茎	乙
5  7	1	6  8
8  8  2	2	3  6  7

设s₁，s₂分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（ ）
A．，s₁＜s₂
B．，s₁＞s₂
C．，s₁＞s₂
D．，s₁=s₂

5. 难度：中等

已知α，β表示两个不同的平面，a，b表示两条不同的直线，则a∥b的一个充分条件是（ ）
A．a∥α，b∥α
B．a∥α，b∥β，α∥β
C．α⊥β，a⊥α，b∥β
D．a⊥α，b⊥β，α∥β

6. 难度：中等

下列命题中，真命题是（ ）
A．
B．∀x∈（0，π），sinx＞cos
C．∃x∈R，x²+x=-1
D．∀x∈（0，+∞），e^x＞1+

7. 难度：中等

已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y²=8x的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4}，定义函数f：M→N．若点A（1，f（1））、B（2，f（2））、C（3，f（3）），△ABC的外接圆圆心为D，且，则满足条件的函数f（x）有（ ）
A．6个
B．10个
C．12个
D．16个

二、填空题

9. 难度：中等

函数f（x）=2cos²x+2sinxcosx-1的最小正周期是    ，最大值是    ．

10. 难度：中等

按如图所示的程序框图运算，若输入x=7，则输出k的值是    ．

11. 难度：中等

已知平面向量，满足||=3，||=2，与的夹角为60°，若（-m）⊥，则实数m=    ．

12. 难度：中等

已知变量x，y满足，则目标函数z=2x-y的最大值为    ．

13. 难度：中等

已知圆C的圆心是直线x-y-1=0与x轴的交点，且圆C与直线3x-4y+2=0相切，则圆C的方程为    ．

14. 难度：中等

平面直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f（x）的图象恰好通过k（k∈N*）个格点，则称函数f（x）为k阶格点函数．下列函数：
①f（x）=sinπx；②f（x）=π（x-1）²+3；③； ④f（x）=log_0.6（x+1）；⑤，
其中是一阶格点函数的有    ．（填上所有满足题意的函数的序号）

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，角A、B、C成等差数列，，边a的长为．
（ I）求边b的长；
（II）求△ABC的面积．

16. 难度：中等

如图所示，四边形ABCD和ABEF都是正方形，点M是DF的中点．
（I）求证：AM⊥平面CDFE；
（II）求证：DF∥平面BCE．

17. 难度：中等

已知数列{a_n}是等差数列，a₁=2，且a₂，a₄，a₈成等比数列．
（ I）求等差数列{a_n}的通项公式；
（II）如果数列{b_n}是等比数列，且b₁=a₂，b₂=a₄，求{b_n}的前n项和S_n．

18. 难度：中等

一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．
（I）从袋中随机抽取一个球，将其编号记为a，然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，将其编号记为b．求关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0有实根的概率；
（II）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n．若以（m，n）作为点P的坐标，求点P落在区域内的概率．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²在x=-1时取得极值，曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率为12；函数g（x）=f（x）+mx，x∈[1，+∞），函数g（x）的导函数g'（x）的最小值为0．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求实数m的值；
（Ⅲ） 求证：g（x）≥-7．

20. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）．
（i）若，求直线l的倾斜角；
（ii）若点Q（0，y）在线段AB的垂直平分线上，且．求y的值．