Question

已知函数f（x）=ax³+bx²在x=-1时取得极值，曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率为12；函数g（x）=f（x）+mx，x∈[1，+∞），函数g（x）的导函数g'（x）的最小值为0．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求实数m的值；
（Ⅲ） 求证：g（x）≥-7．

Answer

（I）求出f（x）的导数，令导数在-1处的值为0，在x=1处的值为12，列出方程组，求出a，b的值．
（II）求出g（x）的导函数，求出导函数的对称轴，判断出g'（x）的单调性，求出导函数的最小值，列出方程，求出m
（III）利用导函数的符号，判断出g（x）的单调性，求出g（x）的最小值．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）=ax3+bx2，
∴f'（x）=3ax2+2bx．
由题意有，
解得．
∴函数f（x）的解析式为f（x）=2x3+3x2．
（Ⅱ）g（x）=f（x）+mx=2x3+3x2+mx，x∈[1，+∞），
在[1，+∞）单调递增
∴[g'（x）]min=g'（1）=12+m=0，
∴m=-12．
（Ⅲ）g（x）=2x3+3x2-12x，x∈[1，+∞），
由（Ⅱ）知，当x=1时，g'（x）=0，
当x＞1时，g'（x）＞0，∴g（x）在[1，+∞）上是增函数．
∴g（x）≥g（1）=2+3-12=-7．