2013年上海市闸北区高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

设为虚数单位，集合A={1，-1，i，-i}，集合，则A∩B=    ．

2. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，以向量=（a₁，a₂），=（b₁，b₂）为邻边的平行四边形的面积为    ．

3. 难度：中等

（1+2x）³（1-x）⁴展开式中x⁶的系数为    ．

4. 难度：中等

过原点且与向量=垂直的直线被圆x²+y²-4y=0所截得的弦长为    ．

5. 难度：中等

甲、乙两人从4门课程中各选修2门．则甲．乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有    种．

6. 难度：中等

设0，a₁=2cosθ，a_n+1=，则数列{a_n}的通项公式a_n=    ．

7. 难度：中等

已知函数f（x）=，若f（f（x））=3，则x=    ．

8. 难度：中等

设对所有实数x，不等式＞0恒成立，则a的取值范围为    ．

9. 难度：中等

现有一个由长半轴为2，短半轴为1的椭圆绕其长轴按一定方向旋转180°所形成的“橄榄球面”．已知一个以椭圆的长轴为轴的圆柱内接于该橄榄球面，则这个圆柱的侧面积的最大值是    ．

二、选择题

10. 难度：中等

命题“对任意的x∈R，f（x）＞0”的否定是（ ）
A．对任意的x∈R，f（x）≤0
B．对任意的x∈R，f（x）＜0
C．存在x∈R，f（x）＞0
D．存在x∈R，f（x）≤0

11. 难度：中等

若0≤α≤2π，sinα＞cosα，则α的取值范围是（ ）
A．（，）
B．（，π）
C．（，）
D．（，）

12. 难度：中等

某商场在节日期间举行促销活动，规定：
（1）若所购商品标价不超过200元，则不给予优惠；
（2）若所购商品标价超过200元但不超过500元，则超过200元的部分给予9折优惠；
（3）若所购商品标价超过500元，其500元内（含500元）的部分按第（2）条给予优惠，超过500元的部分给予8折优惠．
某人来该商场购买一件家用电器共节省330元，则该件家电在商场标价为（ ）
A．1600元
B．1800元
C．2000元
D．2200元

三、解答题

13. 难度：中等

已知=（cosθ，sinθ）和=（-sinθ，cosθ），θ∈（π，2π），且||=，求sinθ的值．

14. 难度：中等

某粮仓是如图所示的多面体，多面体的棱称为粮仓的“梁”．现测得底面ABCD是矩形，AB=16米，AD=4米，腰梁AR、BF、CF、DE分别与相交的底梁所成角均为60°．
（1）求腰梁BF与DE所成角的大小；
（2）若不计粮仓表面的厚度，该粮仓可储存多少立方米粮食？

15. 难度：中等

设定义域为R的函数f（x）=为偶函数，其中a为实常数．
（1）求a的值，指出并证明该函数的其它基本性质；
（2）请你选定一个区间D，求该函数在区间D上的反函数f^-1（x）．

16. 难度：中等

设数列{a_n}与{b_n}满足：对任意n∈N⁺，都有ba_n-2ⁿ=（b-1）S_n，b_n=a_n-n•2^n-1．其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）当b=2时，求{b_n}的通项公式，进而求出{a_n}的通项公式；
（2）当b≠2时，求数列{a_n}的通项a_n以及前n项和S_n．

17. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C₁为到定点F（，）的距离与到定直线l₁：x+y+=0的距离相等的动点P的轨迹，曲线C₂是由曲线C₁绕坐标原点O按顺时针方向旋转45°形成的．
（1）求曲线C₁与坐标轴的交点坐标，以及曲线C₂的方程；
（2）过定点M（m，0）（m＞0）的直线l₂交曲线C₂于A、B两点，点N是点M关于原点的对称点．若=λ，证明：⊥（-λ）．