2013年上海市崇明县高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

计算=    ．

2. 难度：中等

已知函数的定义域为M，函数g（x）=2^x的值域为N，则M∩N=    ．

3. 难度：中等

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长是3，点M、N分别是棱AB、AA₁的中点，则异面直线MN与BC₁所成的角是    ．

4. 难度：中等

若抛物线y²=2px（p＞0）的焦点与双曲线x²-y²=2的右焦点重合，则p的值为    ．

5. 难度：中等

已知数列{a_n}是无穷等比数列，其前n项和是S_n，若a₂+a₃=2，a₃+a₄=1，则的值为    ．

6. 难度：中等

圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2πcm，半径为cm，则该圆锥的体积为    cm³．

7. 难度：中等

阅读程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的自然数为    ．

8. 难度：中等

已知函数（a为常数，a∈R），且是方程f（x）=0的解．当x∈[0，π]时，函数f（x）值域为    ．

9. 难度：中等

若二项式的展开式中，第4项与第7项的二项式系数相等，则展开式中x⁶的系数为    ．（用数字作答）

10. 难度：中等

已知a，b为正实数，函数f（x）=ax³+bx+2^x在[0，1]上的最大值为4，则f（x）在[-1，0]上的最小值为    ．

11. 难度：中等

在极坐标系中，直线过点（1，0）且与直线（ρ∈R）垂直，则直线的极坐标方程为    ．

12. 难度：中等

设函数 ，函数y=f[f（x）]-1的零点个数为    ．

13. 难度：中等

已知O为△ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则的值等于    ．

14. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的l高调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a²|-a²，且f（x）为R上的8高调函数，那么实数a的取值范围是    ．

二、选择题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=（cos2xcosx+sin2xsinx）sinx，x∈R，则f（x）是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数

16. 难度：中等

不等式成立的充分不必要条件是（ ）
A．-1＜x＜0或x＞1
B．x＜-1或0＜x＜1
C．x＞-1
D．x＞1

17. 难度：中等

学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10，50）（单 位：元），其中支出在[30，50）（单位：元）的同学有67人，其频率分布直方图如右图所示，则n的值为（ ）

A．100
B．120
C．130
D．390

18. 难度：中等

一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的均值为2，的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

三、解答题

19. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠C=45°，D为BC中点，BC=2．记锐角∠ADB=α．且满足cos2α=-．
（1）求cosα；
（2）求BC边上高的值．

20. 难度：中等

如图：已知四棱锥P-ABCD，底面是边长为3的正方形ABCD，PA⊥面ABCD，点M是CD的中点，点N是PB的中点，连接AM、AN、MN．
（1）求证：AB⊥MN；
（2）若MN=5，求二面角N-AM-B的余弦值．

21. 难度：中等

某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平等因素的限制，会产生较多次品，根据经验知道，次品数p（万件）与日产量x（万件）之间满足关系：．已知每生产l万件合格的元件可以盈利20万元，但每产生l万件次品将亏损10万元．（实际利润=合格产品的盈利-生产次品的亏损）
（1）试将该工厂每天生产这种元件所获得的实际利润T（万元） 表示为日产量x（万件）的函数；
（2）当工厂将这种仪器的元件的日产量x（万件） 定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少？

22. 难度：中等

已知椭圆C的方程为（a＞0），其焦点在x轴上，点Q为椭圆上一点．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点P（x，y）满足，其中M、N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为，求证：为定值；
（3）在（2）的条件下探究：是否存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．

23. 难度：中等

设数列{a_n}、{b_n}的各项都是正数，S_n为数列{a_n}的前n项和，且对任意n∈N^*，都有，b₁=e，，c_n=a_n+1•lnb_n（常数λ＞0，lnb_n是以为底数的自然对数，e=2.71828…）
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）用反证法证明：当λ=4时，数列{c_n}中的任何三项都不可能成等比数列；
（3）设数列{c_n}的前n项和为T_n，试问：是否存在常数M，对一切n∈N^*，（1-λ）T_n+λc_n≥M恒成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，请证明你的结论．