2012年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数=（ ）
A．2+i
B．2-i
C．1+2i
D．1-2i

2. 难度：中等

已知集合，B={1，m}，A∪B=A，则m=（ ）
A．0或
B．0或3
C．1或
D．1或3

3. 难度：中等

椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=-4，则该椭圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，，E为CC₁的中点，则直线AC₁与平面BED的距离为（ ）
A．2
B．
C．
D．1

5. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₅=5，S₅=15，则数列的前100项和为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知α为第二象限角，，则cos2α=（ ）
A．-
B．-
C．
D．

8. 难度：中等

已知F₁、F₂为双曲线C：x²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF₁|=2|PF₂|，则cos∠F₁PF₂=（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知x=lnπ，y=log₅2，，则（ ）
A．x＜y＜z
B．z＜x＜y
C．z＜y＜
D．y＜z＜

10. 难度：中等

已知函数y=x³-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（ ）
A．-2或2
B．-9或3
C．-1或1
D．-3或1

11. 难度：中等

将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（ ）
A．12种
B．18种
C．24种
D．36种

12. 难度：中等

正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（ ）
A．16
B．14
C．12
D．10

二、解答题

13. 难度：中等

若x，y满足约束条件则z=3x-y的最小值为    ．

14. 难度：中等

当函数y=sinx-cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=    ．

15. 难度：中等

若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为    ．

16. 难度：中等

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA₁=∠CAA₁=60°，则异面直线AB₁与BC₁所成角的余弦值为    ．

17. 难度：中等

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）+cosB=1，a=2c，求C．

18. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．
（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；
（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．

19. 难度：中等

乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．
（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．

20. 难度：中等

设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围．

21. 难度：中等

已知抛物线C：y=（x+1）²与圆（r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．
（Ⅰ）求r；
（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．

22. 难度：中等

函数f（x）=x²-2x-3，定义数列{ x_n}如下：x₁=2，x_n+1是过两点P（4，5），Q_n（ x_n，f（ x_n））的直线PQ_n与x轴交点的横坐标．
（Ⅰ）证明：2≤x_n＜x_n+1＜3；
（Ⅱ）求数列{ x_n}的通项公式．