2010年江苏省南通市如东县马塘中学高三自主练习数学试卷（一）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知复数z满足=3，则复数z的虚部为     ．

2. 难度：中等

“”是“”的    条件．

3. 难度：中等

函数y=1-sin²（）的最小正周期是    ．

4. 难度：中等

直线x+（m+1）y=2-m与mx+2y=-8垂直的充要条件是m=    ．

5. 难度：中等

已知sin2α=，，则sinα+cosα=    ．

6. 难度：中等

一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为6cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为2cm，那么该棱柱的体积为    cm³．

7. 难度：中等

已知cos=，coscos=，coscoscos=，…，根据这些结果，猜想出的一般结论是    ．

8. 难度：中等

设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中为真命题的是    ．
①⇒m⊥α；②；③；④

9. 难度：中等

在锐角△ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于     ，AC的取值范围为     ．

10. 难度：中等

已知△ABC的外接圆的圆心O，BC＞CA＞AB，设，，则m、n、p的大小关系为    （从小到大排列）．

11. 难度：中等

在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=45°，AB=2CD=2，M为腰BC的中点，则=    ．

12. 难度：中等

当θ取遍所有值时，直线所围成的图形面积为     ．

13. 难度：中等

在△ABC中，A=60°，a=2，记△ABC的周长为S₁，面积为S₂，则的最小值是    ．

14. 难度：中等

，，（x，y）∈M∪N，当2x+y取得最大值时，（x，y）∈N，（x，y）∉M，则实数t的取值范围是    ．

15. 难度：中等

设复数z=（a2-4sin²θ）+（1+2cosθ）i，其中i为虚数单位，a为实数，θ∈（0，π）．若z是方程x²-2x+5=0的一个根，且z在复平面内所对应的点在第一象限，求θ与a的值．

16. 难度：中等

已知动点在角α的终边上．
（1）求tanα；
（2）若，求实数t的值；
（3）记，试用t将S表示出来．

17. 难度：中等

如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．
（1）求证：AF⊥平面CBF；
（2）设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；
（3）设平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的体积分别为V_F-ABCD，V_F-CBE，求V_F-ABCD：V_F-CBE．

18. 难度：中等

某公司为了加大产品的宣传力度，准备立一块广告牌，在其背面制作一个形如△ABC的支架，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米．为节省材料，要求AC的长度越短越好．求AC的最短长度，且当AC最短时，BC的长度为多少米？

19. 难度：中等

已知A（0，1）、B（0，2）、C（4t，2t²-1）（t∈R），⊙M是以AC为直径的圆，再以M为圆心、BM为半径作圆交x轴交于D、E两点．
（Ⅰ）若△CDE的面积为14，求此时⊙M的方程；
（Ⅱ）试问：是否存在一条平行于x轴的定直线与⊙M相切？若存在，求出此直线的方程；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求的最大值，并求此时∠DBE的大小．

20. 难度：中等

已知a＞0，函数f（x）=ax-bx²．
（1）当b＞0时，若对任意x∈R都有f（x）≤1，证明a≤2；
（2）当b＞1时，证明：对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1的充要条件是b-1≤a≤2；
（3）当0＜b≤1时，讨论：对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1的充要条件．