2007-2008学年重庆市南开中学高三（下）3月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

等于（ ）
A．2
B．-2
C．2i
D．-2i

2. 难度：中等

已知集合S=R，A={x|x²-2x-3≤0}，B={x||x-2|＜2}，那么集合∁_R（A∩B）等于（ ）
A．{x|0＜x≤3}
B．{x|-1≤x＜2}
C．{x|x≤0，或x＞3}
D．{x|x＜-1，或x≥2}

3. 难度：中等

若A、b是空间两条不同的直线，α、β是空间的两个不同的平面，则a⊥α的一个充分条件是（ ）
A．a∥β，α⊥β
B．a⊂β，α⊥β
C．a⊥b，b∥α
D．a⊥β，α∥β

4. 难度：中等

函数的最小正周期是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

5. 难度：中等

S_n是数列{a_n}的前n项和，则“数列{a_n}为常数列”是“数列{S_n}为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

把直线x-2y+λ=0向左平移1个单位，再向下平移2个单位后恰好与圆x²+y²+2x-4y=0相切，则实数λ的值为（ ）
A．3或13
B．-3或13
C．3或-13
D．-3或-13

7. 难度：中等

若，且，则向量与的夹角为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°

8. 难度：中等

函数f（x）为奇函数且f（3x+1）的周期为3，f（1）=-1，则f（2006）等于（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．2

9. 难度：中等

直线l是双曲线-=1的右准线，以原点为圆心且过双曲线的顶点的圆，被直线l分成弧长为2：1的两段圆弧，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如图，P是正四面体V-ABC的面VBC上一点，点P到平面ABC距离与到点V的距离相等，则动点P的轨迹是（ ）

A．直线
B．抛物线
C．离心率为的椭圆
D．离心率为3的双曲线

二、解答题

11. 难度：中等

△ABC中，AB=1，AC=2，∠C=30°，则△ABC面积为    ．

12. 难度：中等

正方体AC₁中，O为底面ABCD中心，则直线AD₁与C₁O所成角大小为    ．

13. 难度：中等

已知函数，若f（x）在R上连续，则a=    ，此时=    ．

14. 难度：中等

已知点P（x，y）满足条件（k为常数），若z=x+3y的最大值为8，则k=    ．

15. 难度：中等

各项都为正数的数列{a_n}中，a₁=2，，则a_n=    ．

16. 难度：中等

对于函数有下列命题：
①在该函数图象上一点（-2，f（-2））处的切线的斜率为；
②函数f（x）的最小值为；
③该函数图象与x轴有4个交点；
④函数f（x）在（-∞，-1]上为减函数，在（0，1]上也为减函数．
其中正确命题的序号是    ．

17. 难度：中等

平面内的点P（1，cosx），Q（cosx，1），，O为原点，若两个向量的夹角为θ，求：f（x）=cosθ的最大值及相应的x的值．

18. 难度：中等

如图已知：平面α与平面β所成角为60°，直角三角形斜边AB在棱l上，直角边BC，CA在平面β内，它们与平面α所成角分别为θ₁，θ₂．
求：sin²θ₁+sin²θ₂的值．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=2x³-3x²+a的极大值为6．
（1）求a的值；
（2）当x∈[-2，2]，且t∈[-1，1]时，f（x）≥kt-25恒成立，求k的取值范围．

20. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA，AB，AD两两互相垂直，已知AD∥BC，BC=2AD，E是PB的中点．
（1）求证：AE∥平面PCD；
（2）若平面PBC⊥平面PCD，PA=AB=6，BC=3，求点E到平面PCD的距离d；
（3）设二面角P-BC-D为45°，且PA=AD，求二面角B-PC-A的大小．

21. 难度：中等

直线y=mx+1与椭圆ax²+y²=2交于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OAPB（O为坐标原点）．
（1）若a=2，求点P的轨迹方程；
（2）若a，m满足a+2m²=1，求平行四边形OAPB的面积函数S（a）的值域．

22. 难度：中等

已知双曲线a_n-1y²-a_nx²=a_n-1a_n的一个焦点为，且c₁=6，一条渐近线方程为，其中{a_n}是以4为首项的正数数列，记T_n=a₁c₁+a₂c₂+…+a_nc_n（n∈N^*）．
（1）求数列{c_n}的通项公式；
（2）数列{c_n}的前n项和为S_n，求；
（3）若不等式对一切自然数n（n∈N^*）恒成立，求实数x的取值范围．