Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA，AB，AD两两互相垂直，已知AD∥BC，BC=2AD，E是PB的中点．
（1）求证：AE∥平面PCD；
（2）若平面PBC⊥平面PCD，PA=AB=6，BC=3，求点E到平面PCD的距离d；
（3）设二面角P-BC-D为45°，且PA=AD，求二面角B-PC-A的大小．

Answer

（1）设PC中点为M，连接EM，MD，证出AEMD为平行四边形．得出AE∥DM，证出AE∥面PCD即可．
（2）作EG⊥PC于G，利用面PBC⊥面PCD，证出EG⊥面PCD，设EG=d．利用△PBC∽△PGE 解出即可．
（3）作EG⊥PC于G，连接AG，由三垂线定理，∠EGA为二面角B-PC-A 的平面角，解直角三角形EAG得出结果．
（1）证明：设PC中点为M，连接EM，MD，∵E，M 为PB，PC的中点
∴EM∥BC，∵BC∥2AD，∴EM∥AD，EM=AD，∴AEMD为平行四边形．
∴AE∥DM，DM⊂面PCD，∴AE∥面PCD．
（2）【解析】
作EG⊥PC于G，∵面PBC⊥面PCD，∴EG⊥面PCD，∴EG即为所求，设EG=d，
显然△PBC∽△PGE，∴，d=EG=
（3）【解析】
由BC⊥AB，BC⊥PB，∴P-BC-D的平面角为∠PBA=45°，连接AE，E为PB中点.⇒，则AE⊥面PBC．由（2）EG⊥PC于G，连接AG
由三垂线定理，∠EGA为二面角B-PC-A 的平面角．设PA=1，∴AE=，由（2）的计算方法知：EG=∴tan∠EGA==
二面角B-PC-A的大小为arctan．