2007年上海市杨浦区、静安区高考数学二模试卷（文理合卷）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

直线2x-y+1=0的倾斜角为    ．（用反三角函数表示）

2. 难度：中等

（理）lg²x+lgx²=0的解是    ．

3. 难度：中等

方程4^x+2^x-2=0的解是    ．

4. 难度：中等

已知f（x）=2^x+b的反函数为f^-1（x），若y=f^-1（x）的图象经过点P（5，2），则b的值是    ．

5. 难度：中等

在△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C所对应的三边，已知b²=a²-c²+bc，则cosA的值是    ．

6. 难度：中等

若集合A={x|0＜x＜4}，B={x||x-1|＜a}，且A⊆B，则实数a的取值范围是    ．

7. 难度：中等

若{a_n}为等差数列，且，则公差d的值是    ．

8. 难度：中等

已知正四棱锥的底面面积为4cm²，体积为4cm³，设它的侧面上的斜高与底面所成角的大小为θ，则sinθ的值是    ．

9. 难度：中等

（文）已知正三棱柱体积为V，底面边长为a，则它的高为    ．

10. 难度：中等

已知圆的极坐标方程是ρ=2cosθ，则在相应的直角坐标系中圆心的坐标是    ．

11. 难度：中等

若函数为奇函数，则实数a的值是    ．

12. 难度：中等

（理）已知（1+x）+（1+x）²+…+（1+x）ⁿ=a+a₁x+…+a_nxⁿ，若a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=510-n，则n的值是    ．

13. 难度：中等

已知实数x，y满足不等式组，则目标函数z=x+3y的最大值为    ．

14. 难度：中等

设过抛物线y²=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，且AB中点为M，则点M的轨迹方程是    ．

15. 难度：中等

已知集合A={0，3，6，9}，从中任取两个元素分别作为点P（x，y）的横坐标与纵坐标，则点P恰好落入圆x²+y²=100内的概率是    ．

16. 难度：中等

已知函数f（n）=log_（n+1）（n+2）（n为正整数），若存在正整数k满足：f（1）•f（2）•f（3）…f（n）=k，那么我们将k叫做关于n的“对整数”．当n∈[1，100]时，则“对整数”的个数为    个．

二、选择题

17. 难度：中等

设甲是乙的充分非必要条件，乙是丙的充要条件，那么丙是甲的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件

18. 难度：中等

同时满足三个条件：①有反函数；②是奇函数；③其定义域与值域相等的函数是（ ）
A．f（x）=|x|+1
B．f（x）=x²+sin
C．
D．f（x）=-x³

19. 难度：中等

设圆的方程是（x-a）²+（y+b）²=a²+b²（其中a＞0且b＞0），给出下列三种说法：（1）该圆的圆心坐标为（a，b）．（2）该圆过原点．（3）该圆与x轴相交于两个不同点．其中（ ）
A．只有（1）与（2）正确
B．只有（1）与（3）正确
C．只有（2）与（3）正确
D．（1）、（2）与（3）都正确

20. 难度：中等

设奇函数f（x）的定义域为实数集R，且满足f（x+1）=f（x-1），当x∈[0，1）时，f（x）=2^x-1．则的值为（ ）
A．
B．
C．0
D．1-

三、解答题

21. 难度：中等

（理）设虚数z满足（其中a为实数）．
（1）求|z|；
（2）若|z-2|=2，求a的值．

22. 难度：中等

（文）设复数z满足，求z．

23. 难度：中等

（理）在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中（如图），AD=AA₁=1，AB=2，点E是棱AB上的动点．
（1）当异面直线AD₁与EC所成角为60°时，请你确    定动点E的位置．
（2）求三棱锥C-DED₁的体积．

24. 难度：中等

在正四棱锥P-ABCD中（如图），若异面直线PA与BC所成角的正切值为2，底面边长AB=4．
（1）求侧棱与底面ABCD所成角的大小．
（2）求四棱锥P-ABCD的体积．

25. 难度：中等

集合A是由适合以下性质的函数f（x）组成的：对于任意的x≥0，f（x）∈（1，4]，且f（x）在[0，+∞）上是减函数．
（1）判断函数f₁（x）=2-及f₂（x）=1+3•（（x≥0）是否在集合A中？试说明理由；
（2）对于（1）中你认为是集合A中的函数f（x），不等式f（x）+f（x+2）≤k对于任意的x≥0总成立．求实数k的取值范围．

26. 难度：中等

如图，某小区准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余地方种花．若BC=a，∠ABC=θ，设△ABC的面积为S₁，正方形PQRS的面积为S₂，将比值称为“规划合理度”．
（1）试用a，θ表示S₁和S₂．
（2）（理）当a为定值，θ变化时，求“规划合理度”取得最小值时的角θ的大小．
（3）（文）当a为定值，θ=15时，求“规划合理度”的值．

27. 难度：中等

设向量，（n为正整数），函数在[0，1]上的最小值与最大值的和为a_n，又数列{b_n}满足：．
（1）求证：a_n=n+1（2）．
（2）求b_n的表达式．
（3）若c_n=-a_n•b_n，试问数列{c_n}中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有c_n≤c_k成立？证明你的结论．（注：与表示意义相同）

28. 难度：中等

（理）设斜率为k₁的直线L交椭圆C：于A、B两点，点M为弦AB的中点，直线OM的斜率为k₂（其中O为坐标原点，假设k₁、k₂都存在）．
（1）求k₁⋅k₂的值．
（2）把上述椭圆C一般化为
（a＞b＞0），其它条件不变，试猜想k₁与k₂关系（不需要证明）．请你给出在双曲线（a＞0，b＞0）中相类似的结论，并证明你的结论．
（3）分析（2）中的探究结果，并作出进一步概括，使上述结果都是你所概括命题的特例．
如果概括后的命题中的直线L过原点，P为概括后命题中曲线上一动点，借助直线L及动点P，请你提出一个有意义的数学问题，并予以解决．

29. 难度：中等

（文）设F₁、F₂分别为椭圆C：（m＞0，n＞0且m≠n）的两个焦点．
（1）若椭圆C上的点A（1，）到两个焦点的距离之和等于4，求椭圆C的方程．
（2）如果点P是（1）中所得椭圆上的任意一点，且，求△PF₁F₂的面积．
（3）若椭圆C具有如下性质：设M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，点Q是椭圆上任意一点，且直线QM与直线QN的斜率都存在，分别记为K_QM、K_QN，那么K_QM和K_QN之积是与点Q位置无关的定值．试问：双曲线（a＞0，b＞0）是否具有类似的性质？并证明你的结论．通过对上面问题进一步研究，请你概括具有上述性质的二次曲线更为一般的结论，并说明理由．