Question

如图，某小区准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余地方种花．若BC=a，∠ABC=θ，设△ABC的面积为S₁，正方形PQRS的面积为S₂，将比值称为“规划合理度”．
（1）试用a，θ表示S₁和S₂．
（2）（理）当a为定值，θ变化时，求“规划合理度”取得最小值时的角θ的大小．
（3）（文）当a为定值，θ=15时，求“规划合理度”的值．

Answer

（1）据题知三角形ABC为直角三角形，根据三角函数分别求出AC和AB，求出三角形ABC的面积S1；设正方形PQRS的边长为x，利用三角函数分别表示出BQ和RC，利用BQ+QR+RC=a列出方程求出x，算出S2；
（2）由比值 称为“规划合理度”，可设t=sin2θ来化简求出S1与S2的比值，利用三角函数的增减性求出比值的最小值即可求出此时的θ．
（3）将θ=15°代入两面积的函数解析式，然后求出两面积的比值即可得到“规划合理度”的值．
【解析】
（1）在Rt△ABC中，AB=acosθ，AC=asinθ，（3分）
设正方形的边长为x则 ，
由BP+AP=AB，得 ，故
所以 （6分）
（2），（8分）
令t=sin2θ，因为 ，
所以0＜2θ＜π，则t=sin2θ∈（0，1]（10分）
所以 ，，
所以函数g（t）在（0，1]上递减，（11分）
因此当t=1时g（t）有最小值 ，
此时
所以当 时，“规划合理度”最小，最小值为 ．（12分）
（3）θ=15时，，，（12分）
所以，（14分）