1. 难度:中等 | |
在4×□+9×□=60的两个□中,分别填入两自然数,使它们的倒数和最小,应分别填上 和 . |
2. 难度:中等 | |
我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系(两条数轴的原点重合且单位长度相同)称为斜坐标系.平面上任意一点P的斜坐标定义为:若=x+y(其中、分别为斜坐标系的x轴、y轴正方向上的单位向量,x、y∈R),则点P的斜坐标为(x,y).在平面斜坐标系xoy中,若∠xoy=60°,已知点M的斜坐标为(1,2),则点M到原点O的距离为 . |
3. 难度:中等 | |
定义运算符号:“”,这个符号表示若干个数相乘,例如:可将1×2×3×…×n记作,(n∈N*).记Tn=,其中ai为数列{an}(n∈N*)中的第i项. ①若an=3n-2,则T4= ; ②若Tn=2n2(n∈N*),则an= . |
4. 难度:中等 | |
为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况,某市卫生部门对本地区5月份至7月份使用疫苗的所有养鸡场进行了调查,根据下列图表提供的信息,可以得出这三个月本地区平均每月注射了疫苗的鸡的数量为 万只. |
5. 难度:中等 | |
将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”,三棱锥的侧面和底面分别叫为直角三棱锥的“直角面和斜面”;过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”.请仿照直角三角形以下性质: (1)斜边的中线长等于斜边边长的一半; (2)两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方; (3)斜边与两条直角边所成角的余弦平方和等于1. 写出直角三棱锥相应性质(至少一条): |
6. 难度:中等 | |
定义:若存在常数k,使得对定义域D内的任意两个x1,x2(x1≠x2),均有|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|成立,则称函数f(x)在定义域D上满足利普希茨条件.若函数满足利普希茨条件,则常数k的最小值为 . |
7. 难度:中等 | |
如图,AB是⊙O的直径,C是AB延长线上的一点,CD是⊙O的切线,D为切点,过点B作⊙O的切线交CD于点E.若AB=CD=2,则CE= . |
8. 难度:中等 | |
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、P分别为棱AB、BC、DD1的中点. (1)求二面角B1-MN-B的正切值; (2)证明:PB⊥平面B1MN; (3)画出该正方体表面展开图,使其满足“有4个正方形连成一个长方形”的条件. |
9. 难度:中等 | |
已知函数y=f(x)满足f(a-tanθ)=cotθ-1,(其中,a、θ∈R均为常数) (1)求函数y=f(x)的解析式; (2)利用函数y=f(x)构造一个数列{xn},方法如下: 对于给定的定义域中的x1,令x2=f(x1),x3=f(x2),…,xn=f(xn-1),… 在上述构造过程中,如果xi(i=1,2,3,…)在定义域中,构造数列的过程继续下去;如果xi不在定义域中,则构造数列的过程停止. ①如果可以用上述方法构造出一个常数列{xn},求a的取值范围; ②如果取定义域中的任一值作为x1,都可以用上述方法构造出一个无穷数列{xn},求a实数的值. |
10. 难度:中等 | |
已知存在实数ω,φ(其中ω≠0,ω∈Z)使得函数f(x)=2cos(ωx+φ)是奇函数,且在(0,)上是增函数. (1)试用观察法猜出两组ω与φ的值,并验证其符合题意; (2)求出所有符合题意的ω与φ的值. |