2010年湖南省常德市高三段考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

己知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={3，4}，则∁_U（A∪B）=（ ）
A．{3}
B．{5}
C．{1，2，4，5}
D．{1，2，3，4}

2. 难度：中等

若命题p：∀x∈[1，2]，x²-1≥0，则┐p为（ ）
A．∀x∈[1，2]，x²-1≤0
B．∃x∈[1，2]，x²-1≥0
C．∀x∈[1，2]，x²-1≥0
D．∃x∈[1，2]，x²-1≤0

3. 难度：中等

函数f（x）=2sinxcosx是（ ）
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数

4. 难度：中等

阅读如图的程序框图，则输出的S的值为（ ）

A．9
B．36
C．100
D．225

5. 难度：中等

已知直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

下列说法错误的是（ ）
A．若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行
B．如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直
C．一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
D．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直

7. 难度：中等

某几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积为（ ）
A．12
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²-bx+1（a、b∈R）在区间[-1，3]上是减函数，则a+b的最小值是（ ）
A．
B．
C．2
D．3

二、解答题

9. 难度：中等

若复数（1+i）²=a+bi（a、b为实数）则=b     ．

10. 难度：中等

已知=（2，-1），=（m，4），若∥，则m=   

11. 难度：中等

已知函数f（x）=，则满足f（a）＜2时，a的取值范围是     ．

12. 难度：中等

已知正数m、n满足=1，则m+n的最小值为     ．

13. 难度：中等

将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是    ．

14. 难度：中等

设a∈[0，2]，则关于x的方程x²+2ax+1=0在R上有实数根的概率为     ．

15. 难度：中等

定义：区间[x₁，x₂]（x₁＜x₂）的长度为x₂-x₁．已知函数y=|log_0.5x|定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]的长度的最大值为    ．

16. 难度：中等

设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若B=60°，且=4，
（1）求△ABC的面积；
（2）若b=2，求a、c．

17. 难度：中等

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都等于底面的边长．
（1）求证：AC⊥SD；
（2）E是侧棱SD的中点，求SB与CE所成角的正弦．

18. 难度：中等

为了迎接2010上海世博会，某网站举行了一次“世博会知识竞赛”，共有800人参加，随机地编号为001，002，…800．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了50人的成绩（得分均为整数，满分100分）进行统计，这50人考试成绩全部介于60分到100分之间，将考试成绩按如下方式分成8组，第一组[60，65），第二组[65，70）…第八组[95，100]，得到的频率分布直方图如图．
（1）若抽取的50个样本是用系统抽样的方法得到，且第一段抽到的号码为002，则第三段抽到的号码是多少？
（2）若从考试成绩属于第6组和第8组的所有人中随机抽取2人，设他们的成绩为x，y，求满足|x-y|≤5的事件的概率．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}是等差数列，且a₂=7，a₅=16，数列{b_n}是各项为正数的数列，且b₁=2，点（log₂b_n，log₂b_n+1）在直线y=x+1上．
（1）求{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项的和S_n．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=（x²+ax+b）e^x，且f（0）=7，x=1是它的极值点．
（1）求f（x）的表达式；
（2）试确定f（x）的单调区间；
（3）若函数g（x）=f（x）-m（m∈R）恰有3个零点，求m的取值范围．

21. 难度：中等

椭圆C₁的中心在原点，过点（0，），且右焦点F₂与圆C₂：（x-1）²+y²=的圆心重合．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）若点P是椭圆上的动点，EF是圆C₂的任意一条直径，求的最大值．
（3）过点F₂的直线l交椭圆于M、N两点，问是否存在这样的直线l，使得以MN为直径的圆过椭圆的左焦点F₁？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由；