2012-2013学年山西长治二中等四校高三第四次联考理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知集合，，则(   )

A．             B． C．            D．

2. 难度：简单

下列说法错误的是(   )

A．“”是“”的充分不必要条件

B．命题“若，则”的否命题是：“若，则”

C．若命题，则

D．若命题“”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题

3. 难度：简单

函数图象的一条对称轴在内，则满足此条件的一个值为(  )

 A．     B．      C．      D．

4. 难度：简单

一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图都是半径为的圆，且这个几何体是球体的一部分，则这个几何体的表面积为(    )

A．3π         B．4π          C．6π          D．8π

5. 难度：简单

若实数x，y满足约束条件，则目标函数  的最大值为(  )

A．10          B．12    C．13       D．14

6. 难度：简单

运行下图所示框图的相应程序,若输入的值分别为和,则输出M的值是(  )

A．0    B．1     C．2     D．－1

7. 难度：简单

已知数列满足，且，则的值是(  )

A．         B．        C．         D．

8. 难度：简单

已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是(  )

A．     B．     C．     D．

9. 难度：简单

在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c且a=1，B=45°，=2，则b 等于(  )

A．5           B．25        C．               D．

10. 难度：简单

已知函数的图像为曲线C，若曲线C存在与直线垂直的切线，则实数m的取值范围是(  )

A．      B．    C．   D．

11. 难度：简单

若定义在R上的偶函数满足且时,则方程的零点个数是(  )

A．2个         B．3个     C． 4个       D．多于4个

12. 难度：中等

已知是双曲线上的不同三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率=(  )

A．        B．      C．       D．

二、填空题

13. 难度：简单

若函数的图象过点（2，－1），且函数的图像与函数的图像关于直线对称，则=            ．

14. 难度：简单

为虚数单位，则复数的虚部是            ．

15. 难度：简单

某铁路货运站对6列货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组，如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有    ．

16. 难度：简单

已知函数y=的最大值为M,最小值为m,则=            ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知点A（4，0）、B（0，4）、C（）

（1）若，且，求的大小；

（2），求的值．

18. 难度：中等

为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取12件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：

编号	1	2	3	4	5
x	169	178	166	175	180
y	75	80	77	76	81

  （1）已知甲厂生产的产品共84件，求乙厂生产的产品数量；

  （2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75，该产品为优等品，

①用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；

②从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其期望．

19. 难度：中等

如图，已知长方形中，,为的中点. 将沿折起，使得平面平面.

（I）求证： ；

（II）若点是线段的中点，求二面角的余弦值.

20. 难度：中等

已知为椭圆的左，右焦点，为椭圆上的动点，且的最大值为1，最小值为-2.

（I）求椭圆的方程；

（II）过点作不与轴垂直的直线交该椭圆于两点，为椭圆的左顶点。试判断的大小是否为定值，并说明理由.

21. 难度：中等

已知函数

（I）若函数上是减函数，求实数的最小值；

（2）若，使（）成立，求实数的取值范围.

22. 难度：中等

如图，已知⊙O是的外接圆，是边上的高，是⊙O的直径．

（1）求证：；

（II）过点作⊙O的切线交的延长线于点，若，求的长．

23. 难度：中等

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线的参数方程为 (t为参数，0<a<)，曲线C的极坐标方程为．

（I）求曲线C的直角坐标方程；

（II）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当a变化时，求|AB|的最小值．

24. 难度：中等

设 

（1）当，解不等式；

（2）当时，若，使得不等式成立，求实数的取值范围．