2012-2013学年四川省成都七中高二（上）10月段考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

对两条不相交的空间直线a和b，必定存在平面α，使得  （ ）
A．a⊂α，b⊂α
B．a⊥α，b⊥α
C．a⊂α，b⊥α
D．a⊂α，b∥α

2. 难度：中等

如图，四面体PABC的六条棱均相等，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下列四个结论中不成立的是（ ）

A．平面PDE⊥平面ABC
B．DF⊥平面PAE
C．BC∥平面PDF
D．平面PAE⊥平面ABC

3. 难度：中等

已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）

A．
B．
C．2000cm³
D．4000cm³

4. 难度：中等

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB₁C₁C的中心，则AD与平面BB₁C₁C所成角的大小是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

5. 难度：中等

关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题：
①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；
②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；
③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；
④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n；
其中真命题的序号是（ ）
A．①②
B．③④
C．①④
D．②③

6. 难度：中等

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面边长都相等，A₁在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC₁所成的角的余弦值为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

边长为a的菱形ABCD中锐角A=θ，现沿对角线BD折成60°的二面角，翻折后|AC|=a，则锐角A是（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知三棱锥S-ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，，则球的体积与三棱锥体积之比是（ ）
A．π
B．2π
C．3π
D．4π

9. 难度：中等

Rt△ABC两直角边分别为3、4，PO⊥面ABC，O是△ABC的内心，PO=，则点P到△ABC的斜边AB的距离是（ ）

A．
B．
C．
D．2

10. 难度：中等

如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与平面α所成的角为，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，若AB=3A'B'，则AB与平面β所成的角的正弦值是（ ）

A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

在空间四边形ABCD中，已知AD=1，BC=，且AD⊥BC，对角线BD=，AC=，AC和BD所成的角是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

正四面体ABCD（六条棱长都相等）的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．（0，1）

二、填空题

13. 难度：中等

已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则直线PD与平面ABC所成的角为    ．

14. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱线长为1，线段B₁D₁上有两个动点E，F，且，则三棱锥A-BEF的体积为    ．

15. 难度：中等

设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于    ．

16. 难度：中等

如图已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠BAD=60°，长为2的线段MN的一个端点M在DD₁上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN中点P的轨迹与直平行六面体的面所围成的几何体的体积为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是边长为1的正方形，侧棱垂直底边ABCD四棱柱，AA₁=2，E是侧棱AA₁的中点，求
（1）求异面直线BD与B₁E所成角的大小；
（2）求四面体AB₁D₁C的体积．

18. 难度：中等

如图梯形ABCD，AD∥BC，∠A=90°，过点C作CE∥AB，AD=2BC，AB=BC，，现将梯形沿CE折成直二面角D-EC-AB．
（1）求直线BD与平面ABCE所成角的正切值；
（2）设线段AB的中点为P，在直线DE上是否存在一点M，使得PM∥面BCD？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；

19. 难度：中等

如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF=AD=a，G是EF的中点，
（1）求证平面AGC⊥平面BGC；
（2）求GB与平面AGC所成角的正弦值．

20. 难度：中等

如图，S是正方形ABCD所在平面外一点，且SD⊥面ABCD，AB=1，SB=．
（1）求证：BC⊥SC；
（2）设M为棱SA中点，求异面直线DM与SB所成角的大小
（3）求面ASD与面BSC所成二面角的大小．

21. 难度：中等

在四棱锥AB₁中，AB₁D₁C平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；
（3）若PA=，求证：平面PBC⊥平面PDC．

22. 难度：中等

已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心．
（1）求证：BC⊥SA
（2）若S在底面ABC内的射影为O，证明：O为底面△ABC的中心；
（3）若二面角H-AB-C的平面角等于30°，SA=，求三棱锥S-ABC的体积．