第23章《一元二次方程》中考题集（23）：23.3 实践与探索（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知a，b是方程x²+2x-1=0的两个根，求代数式的值．

2. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程x²+（m-1）x-2m²+m=0（m为实数）有两个实数根x₁、x₂．
（1）当m为何值时，x₁≠x₂；
（2）若x₁²+x₂²=2，求m的值．

3. 难度：中等

已知关于x的方程x²-2（m-2）x+m²=0．问是否存在实数m，使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

4. 难度：中等

已知：x₁，x₂是关于x的方程x²-（m-1）x+2m=0的两根，且满足x₁²+x₂²=8，求m的值．

5. 难度：中等

已知关于x的一元二次2x²-（2m²-1）x-m-4=0有一个实数根为．
（1）求m的值；
（2）求已知方程所有不同的可能根的平方和．

6. 难度：中等

先阅读，再填空解答：
方程x²-3x-4=0的根是：x₁=-1，x₂=4，则x₁+x₂=3，x₁x₂=-4；
方程3x²+10x+8=0的根是：x₁=-2，，则x₁+x₂=-，x₁x₂=．
（1）方程2x²+x-3=0的根是：x₁=______，x₂=______，则x₁+x₂=______，x₁x₂=______；
（2）若x₁，x₂是关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，且a，b，c为常数）的两个实数根，那么x₁+x₂，x₁x₂与系数a，b，c的关系是：x₁+x₂=______，x₁x₂=______；
（3）如果x₁，x₂是方程x²+x-3=0的两个根，根据（2）所得结论，求x₁²+x₂²的值．

7. 难度：中等

设x₁、x₂是关于x的方程x²-（m-1）x-m=0（m≠0）的两个根，且满足+=-，求m的值．

8. 难度：中等

下面是小红同学做的一道练习题：已知关于x的方程x²+mx+n=0的两个实数根为m，n，求m，n的值．
【解析】
根据题意，得解得：，，．
（1）请判断该同学的解法是否存在问题，并说明理由；
（2）这道题还可以怎样解？请写出你的解法．

9. 难度：中等

学了一元二次方程的根与系数的关系后，小亮兴奋地说：“若设一元二次方程的两个根为x₁，x₂，就能快速求出，…的值了．比如设x₁，x₂是方程x²+2x+3=0的两个根，则x₁+x₂=-2，x₁x₂=3，得．”
（1）小亮的说法对吗？简要说明理由；
（2）写一个你最喜欢的一元二次方程，并求出两根的平方和．

10. 难度：中等

已知关于x的方程①x²+（2k-1）x+（k-2）（k+1）=0和②kx²+2（k-2）x+k-3=0．
（1）求证：方程①总有两个不相等的实数根；
（2）已知方程②有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围．

11. 难度：中等

已知x₁、x₂是方程x²-2kx+k²-k=0的两个实数根．是否存在常数k，使成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

12. 难度：中等

已知关于x的方程x²-mx-3=0的两实数根为x₁、x₂，若x₁+x₂=2，求x₁、x₂的值．

13. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程x²-（m-1）x+m+2=0，
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值；
（2）若方程的两实数根之积等于m²-9m+2，求m的值．

14. 难度：中等

先阅读，再填空解题：
（1）方程：x²-x-12=0的根是：x₁=-3，x₂=4，则x₁+x₂=1，x₁•x₂=-12；
（2）方程2x²-7x+3=0的根是：x₁=______，x₂=3，则x₁+x₂=______，x₁•x₂=；
（3）方程x²-3x+1=0的根是：x₁=______

15. 难度：中等

已知关于x的方程2x²-kx+1=0的一个解与方程的解相同．
（1）求k的值；
（2）求方程2x²-kx+1=0的另一个解．

16. 难度：中等

已知：关于x的一元二次方程x²-（2m+1）x+m²+m-2=0．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x₁，x₂满足，求m的值．

17. 难度：中等

若m、n是方程x²+2006x-1=0的两实数根，则有m²n+mn²-mn的值是______．

18. 难度：中等

已知：x²+a²x+b=0的两个实数根为x₁、x₂；y₁、y₂是方程y²+5ay+7=0的两个实数根，且x₁-y₁=x₂-y₂=2．求a、b的值．

19. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程x²+kx-1=0，
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根分别为x₁，x₂，且满足x₁+x₂=x₁•x₂，求k的值．

20. 难度：中等

已知关于x的方程kx²+2x-1=0有两个不相等的实数根x₁，x₂，且满足（x₁+x₂）²=1，求k的值．

21. 难度：中等

关于x的方程x²+mx+m-1=0的两个实数根为x₁、x₂，且x₁²+x₂²=5，求实数m的值．

22. 难度：中等

已知：关于x的方程2x²+3x-m+1=0的两个实数根的倒数和为3，求m的值．

23. 难度：中等

关x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有两个实数根x₁、x₂，
（1）求m的取值范围；
（2）若x₁、x₂满足等式x₁x₂-x₁-x₂+1=0，求m的值．

24. 难度：中等

已知关于x的方程x²+kx-2=0的一个解与方程解相同．
（1）求k的值；
（2）求方程x²+kx-2=0的另一个解．

25. 难度：中等

已知：关于x的方程mx²-14x-7=0有两个实数根x₁和x₂，关于y的方程y²-2（n-1）y+n²-2n=0有两个实数根y₁和y₂，且-2≤y₁＜y₂≤4．当+2（2y₁-y₂²）+14=0时，求m的取值范围．

26. 难度：中等

已知x₁，x₂是方程3x²+2x-1=0的两根，求x₁²+x₂²的值．

27. 难度：中等

求一个一元二次方程，使它的两个根为x₁，x₂，且满足x₁²+x₂²=10，x₁x₂=3．

28. 难度：中等

先阅读下面材料，然后解答问题：
王老师在黑板上出了这样一道习题：设方程2x²-5x+k=0的两个实数根是x₁，x₂，请你选取一个适当的k值，求的值．
小明同学取k=4，则方程是2x²-5x+4=0．
由根与系数的关系，得x₁+x₂=，x₁x₂=2．
∴
即．
问题（1）：请你对小明解答的正误作出判断，并说明理由．
问题（2）：请你另取一个适当的正整数k，其它条件不变，不解方程，改求|x₁-x₂|的值．

29. 难度：中等

已知α，β是关于x的一元二次方程（m-1）x²-x+1=0的两个实数根，且满足（α+1）（β+1）=m+1，求实数m的值．

30. 难度：中等

已知关于x、y的方程组有两个不相同的实数解．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若和是方程组的两个不相同的实数解，是否存在实数k，使得y_ly₂--的值等于2？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．