1. 难度:中等 | |
已知:抛物线y=x2-2x-m(m>0)与y轴交于点C,C点关于抛物线对称轴的对称点为C′点. (1)求C点,C′点的坐标(可用含m的代数式表示); (2)如果点Q在抛物线的对称轴上,点P在抛物线上,以点C,C′,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求Q点和P点的坐标(可用含m的代数式表示); (3)在(2)的条件下,求出平行四边形的周长. |
2. 难度:中等 | |
如图,已知平面直角坐标系中三点A(2,0),B(0,2),P(x,0)(x<0),连接BP,过P点作PC⊥PB交过点A的直线a于点C(2,y) (1)求y与x之间的函数关系式; (2)当x取最大整数时,求BC与PA的交点Q的坐标. |
3. 难度:中等 | |
如图,在平面直角坐标系中,半径分别为3和的⊙O1和⊙O2外切于原点O,在x轴上方的两圆的外公切线AB与⊙O1和⊙O2分别切于点A、B,直线AB交y轴于点C.O2D⊥O1A于点D. (1)求∠O1O2D的度数; (2)求点C的坐标; (3)求经过O1、C、O2三点的抛物线的解析式; (4)在抛物线上是否存在点P,使△PO1O2为直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. |
4. 难度:中等 | |
如图,抛物线y=-x2+(m+2)x-3(m-1)交x轴于点A、B(A在B的右边),直线y=(m+1)x-3经过点A.若m<1. (1)求抛物线和直线的解析式; (2)直线y=kx(k<0)交直线y=(m+1)x-3于点P,交抛物线y=-x2+(m+2)x-3(m-1)于点M,过M点作x轴垂线,垂足为D,交直线y=(m+1)x-3于点N.问:△PMN能否为等腰三角形?若能,求k的值;若不能,请说明理由. |
5. 难度:中等 | |
已知A1、A2、A3是抛物线y=x2上的三点,A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x轴,垂足为B1、B2、B3,直线A2B2交线段A1A3于点C. (1)如图,若A1、A2、A3三点的横坐标依次为1,2,3,求线段CA2的长; (2)如图,若将抛物线y=x2改为抛物线y=x2-x+1,A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数,其他条件不变,求线段CA2的长; (3)若将抛物线y=x2改为抛物线y=ax2+bx+c,A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数,其他条件不变,请猜想线段CA2的长(用a、b、c表示,并直接写出答案). |
6. 难度:中等 | |
附加题:若抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点C(2,3),与x轴交于点M、N,且∠MCN=90°,求a的值. |
7. 难度:中等 | |
附加题:如图1,菱形纸片ABCD中,AB=1,∠B=60°,将纸片翻折(如图2),使D点落在AD所在直线上,并可在直线AD上运动,折痕为EF.当<DE<1时,设AB与DC相交于点G(如图). (1)线段AD与DG相等吗?△ADG与△BCG的面积之和是否随着DE的变化而变化?为什么? (2)设AD=x,重叠部分(图3中阴影部分)的面积为y,求出y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围以及面积y的取值范围. |
8. 难度:中等 | |
如图所示,边长为1的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,将正方形OABC绕点O顺时针旋转30°,使点A落在抛物线y=ax2(a<0)的图象上. (1)求抛物线y=ax2的函数关系式; (2)正方形OABC继续按顺时针旋转多少度时,点A再次落在抛物线y=ax2的图象上并求这个点的坐标. (参考数据:sin30°=,cos30°=,tan30°=.) |
9. 难度:中等 | |
在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,0),B(0,1),C(2,). (Ⅰ)直线l:y=kx+b过A、B两点,求k、b的值; (Ⅱ)求过A、B、C三点的抛物线Q的解析式; (Ⅲ)设(Ⅱ)中的抛物线Q的对称轴与x轴相交于点E,那么在对称轴上是否存在点F,使⊙F与直线l和x轴同时相切?若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由. |
10. 难度:中等 | |
如图,抛物线y=-x2+(6-)x+m-3与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点(x1<x2),交y轴于C点,且x1+x2=0. (1)求抛物线的解析式,并写出顶点坐标及对称轴方程. (2)在抛物线上是否存在一点P使△PBC≌△OBC?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. |
11. 难度:中等 | |
已知:在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx-4k的图象与x轴交于点A,抛物线y=ax2+bx+c经过O、A两点. (1)试用含a的代数式表示b; (2)设抛物线的顶点为D,以D为圆心,DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分.若将劣弧沿x轴翻折,翻折后的劣弧落在⊙D内,它所在的圆恰与OD相切,求⊙D半径的长及抛物线的解析式; (3)设点B是满足(2)中条件的优弧上的一个动点,抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P,使得∠POA=∠OBA?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. |
12. 难度:中等 | |
已知一次函数y1=x,二次函数y2=x2+ (1)根据表中给出的x的值,填写表中空白处的值; (2)观察上述表格中的数据,对于x的同一个值,判断y1和y2的大小关系.并证明:在实数范围内,对于x的同一个值,这两个函数所对应的函数值y1和y2的大小关系仍然成立; (3)若把y=x换成与它平行的直线y=x+k(k为任意非零实数),请进一步探索:当k满足什么条件时,(2)中的结论仍然成立?当k满足什么条件时,(2)中的结论不能对任意的实数x都成立?并确定使(2)中的结论不成立的x的范围. |
13. 难度:中等 | |
如图,在直线l上摆放有△ABC和直角梯形DEFG,且CD=6cm;在△ABC中:∠C=90°,∠A=30°,AB=4cm;在直角梯形DEFG中:EF∥DG,∠DGF=90°,DG=6cm,DE=4cm,∠EDG=60度.解答下列问题: (1)旋转:将△ABC绕点C顺时针方向旋转90°,请你在图中作出旋转后的对应图形△A1B1C,并求出AB1的长度; (2)翻折:将△A1B1C沿过点B1且与直线l垂直的直线翻折,得到翻折后的对应图形△A2B1C1,试判定四边形A2B1DE的形状并说明理由; (3)平移:将△A2B1C1沿直线l向右平移至△A3B2C2,若设平移的距离为x,△A3B2C2与直角梯形重叠部分的面积为y,当y等于△ABC面积的一半时,x的值是多少. |