Question

已知一次函数y₁=x，二次函数y₂=x²+
（1）根据表中给出的x的值，填写表中空白处的值；

（2）观察上述表格中的数据，对于x的同一个值，判断y₁和y₂的大小关系．并证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y₁和y₂的大小关系仍然成立；
（3）若把y=x换成与它平行的直线y=x+k（k为任意非零实数），请进一步探索：当k满足什么条件时，（2）中的结论仍然成立？当k满足什么条件时，（2）中的结论不能对任意的实数x都成立？并确定使（2）中的结论不成立的x的范围．

Answer

（1）把x的值代入二次函数解析式，可直接求出对应的y的值．
（2）通过观察表中的数据，可得，y1≤y2，用y2-y1所得的式子进行分析，因为等于（x-1）2，不论x取何值，都有（x-1）2≥0，故有y2-y1≥0，即y2≥y1．
（3）解两个函数解析式组成的方程组，得到关于x的一元二次方程，根据根的判别式进行分析，（△=8k），当k＜0时，一次函数的图象在二次函数的图象的下方，那么就有y2≥y1，而当k＞0，时，二次函数的图象有一部分在一次函数图象的上方，一部分在下方，故这种情况不能使（2）中的结论成立．
【解析】
（1）x=-3时，y2=5；
x=-2时，y2=；
x=2时，y2=；
x=3时，y2=5．

（2）y1≤y2
∵y2-y1=（x2+）-x=（x-1）2
又∵x取任意实数时，都有（x-1）2≥0，
∴y2≥y1对任意的实数x都成立．

（3）由，
得x2+=x+k，
即x2-2x+1-2k=0 ①
方程①的判别式△=4-4（1-2k）=8k，（k≠0）
①当k＜0时，方程①无实数根，
即直线y=x+k与抛物线无交点，且直线在抛物线的下方，此时（2）中的结论仍然成立．
②当k＞0时，方程①有两个不相等的实数根：x1=1-，x2=1+，
即直线与抛物线有两个不同的交点，此时抛物线上有一部分点在直线的下方，
所以（2）中的结论不能对任意的x都成立．
当1-＜1+时，（2）中的结论不成立．