第2章《二次函数》中考题集（29）：2.4 二次函数的应用（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，DB⊥DC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M．点P为线段FG上一个动点（与F、G不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q．
（1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．

2. 难度：中等

如图，已知抛物线y=-x²+x+4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B．
（1）求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式；
（2）设P（x，y）（x＞0）是直线y=x上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF，若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值．

3. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．

4. 难度：中等

如图所示，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点，直线BD的函数表达式为，抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于点E．
（1）求A、B、C三个点的坐标；
（2）点P为线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M，以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N，分别连接AN、BM、MN．
①求证：AN=BM；
②在点P运动的过程中，四边形AMNB的面积有最大值还是有最小值？并求出该最大值或最小值．

5. 难度：中等

矩形OBCD在如图所示的平面直角坐标系中，其中三个顶点分别是O（0，0），B（0，3），D（-2，0），直线AB交x轴于点A（1，0）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式，并写出其顶点E的坐标；
（3）过点E作x轴的平行线EF交AB于点F，将直线AB沿x轴向右平移2个单位，与x轴交于点G，与EF交于点H，请问过A、B、C三点的抛物线上是否存在点P，使得S_△PAG=S_△PEH？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

6. 难度：中等

已知抛物线y=x²+bx+c与直线y=x+1有两个交点A、B．
（1）当AB的中点落在y轴时，求c的取值范围；
（2）当AB=2，求c的最小值，并写出c取最小值时抛物线的解析式；
（3）设点P（t，T）在AB之间的一段抛物线上运动，S（t）表示△PAB的面积．
①当AB=2，且抛物线与直线的一个交点在y轴时，求S（t）的最大值，以及此时点P的坐标；
②当AB=m（正常数）时，S（t）是否仍有最大值，若存在，求出S（t）的最大值以及此时点P的坐标（t，T）满足的关系，若不存在说明理由．

7. 难度：中等

已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O．过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）．
（1）求字母a，b，c的值；
（2）在直线x=1上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；
（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM=PN恒成立？若存在请求出t值，若不存在请说明理由．

8. 难度：中等

下图是二次函数y=（x+m）²+k的图象，其顶点坐标为M（1，-4）．
（1）求出图象与x轴的交点A，B的坐标；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S_△PAB=S_△MAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b（b＜1）与此图象有两个公共点时，b的取值范围．

9. 难度：中等

如图所示，抛物线y=ax²+bx+c经过原点O，与x轴交于另一点N，直线y=kx+4与两坐标轴分别交于A、D两点，与抛物线交于B（1，m）、C（2，2）两点．
（1）求直线与抛物线的解析式；
（2）若抛物线在x轴上方的部分有一动点P（x，y），设∠PON=α，求当△PON的面积最大时tanα的值；
（3）若动点P保持（2）中的运动路线，问是否存在点P，使得△POA的面积等于△PON面积的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

10. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S、求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

11. 难度：中等

如图所示，在直角梯形OABC，CB，OA，∠OAB=90°，点O为坐标原点，点A在x半轴上，对角线OB，AC相交于点M，OA=AB=4，OA=2CB．
（1）线段OB的长为______

12. 难度：中等

如图所示，已知直线y=kx-1与抛物线y=ax²+bx+c交于A（-3，2）、B（0，-1）两点，抛物线的顶点为C（-1，-2），对称轴交直线AB于点D，连接OC．
（1）求k的值及抛物线的解析式；
（2）若P为抛物线上的点，且以P、A、D三点构成的三角形是以线段AD为一条直角边的直角三角形，请求出满足条件的点P的坐标；
（3）在（2）的条件下所得的三角形是否与△OCD相似？请直接写出判断结果，不必写出证明过程．

13. 难度：中等

如图，直线y=-x-1与抛物线y=ax²+bx-4都经过点A（-1，0）、C（3，-4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E，求线段PE长度的最大值；
（3）当线段PE的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在点Q，使△PCQ是以PC为直角边的直角三角形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在．请说明理由．

14. 难度：中等

如图所示，平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c经过A（0，4）、B（-2，0）、C（6，0）．过点A作AD∥x轴交抛物线于点D，过点D作DE⊥x轴，垂足为点E．点M是四边形OADE的对角线的交点，点F在y轴负半轴上，且F（0，-2）．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出四边形OADE的形状；
（2）当点P、Q从C、F两点同时出发，均以每秒1个长度单位的速度沿CB、FA方向运动，点P运动到O时P、Q两点同时停止运动．设运动的时间为t秒，在运动过程中，以P、Q、O、M四点为顶点的四边形的面积为S，求出S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在抛物线上是否存在点N，使以B、C、F、N为顶点的四边形是梯形？若存在，直接写出点N的坐标；不存在，说明理由．

15. 难度：中等

如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线y=2x上，过点B作x轴的垂线，垂足为A，OA=5．若抛物线过点O、A两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若A点关于直线y=2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O₁是以BC为直径的圆．过原点O作O₁的切线OP，P为切点（P与点C不重合），抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与O₁相切？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．

16. 难度：中等

已知：抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（-1，0），点B在x轴的正半轴上，OC=3OA（O为坐标原点）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点E是抛物线上的一个动点且在x轴下方和抛物线对称轴的左侧，过E作EF∥x轴交抛物线于另一点F，作ED⊥x轴于点D，FG⊥x轴于点G，求四边形DEFG周长m的最大值；
（3）设抛物线顶点为P，当四边形DEFG周长m取得最大值时，以EF为边的平行四边形面积是△AEP面积的2倍，另两顶点钟有一顶点Q在抛物线上，求Q点的坐标．

17. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．

18. 难度：中等

如图，在直角坐标系中，A（-1，0），B（0，2），一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动，P点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM与x轴交于点C．
（1）求点C的坐标．
（2）求过点A、B、C三点的抛物线的解析式．
（3）若P点开始运动时，Q点也同时从C点出发，以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运动，t秒后，以P、Q、C为顶点的三角形是等腰三角形．（点P到点C时停止运动，点Q也同时停止运动），求t的值．
（4）在（2）（3）的条件下，当CQ=CP时，求直线OP与抛物线的交点坐标．

19. 难度：中等

如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=15，OC=9，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作N点．
（1）求N点、M点的坐标；
（2）将抛物线y=x²-36向右平移a（0＜a＜10）个单位后，得到抛物线l，l经过点N，求抛物线l的解析式；
（3）①抛物线l的对称轴上存在点P，使得P点到M、N两点的距离之差最大，求P点的坐标；
②若点D是线段OC上的一个动点（不与O、C重合），过点D作DE∥OA交CN于E，设CD的长为m，△PDE的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

如图，已知二次函数y=ax²-4x+c的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．

21. 难度：中等

如图，抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；
（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A（3，0），B（2，-3），C（0，-3）．
（1）求此函数的解析式及图象的对称轴；
（2）点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．
①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；
②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值．

23. 难度：中等

如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（-8，0），点N的坐标为（-6，-4）．
（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A，点N的对应点为B，点H的对应点为C）；
（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；
（3）截取CE=OF=AD=m，且E，F，D分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFD的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
（4）在（3）的情况下，四边形BEFD是否存在邻边相等的情况？若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．

24. 难度：中等

如图，抛物线F：y=ax²+bx+c（a＞0）与y轴相交于点C，直线L₁经过点C且平行于x轴，将L₁向上平移t个单位得到直线L₂，设L₁与抛物线F的交点为C、D，L₂与抛物线F的交点为A、B，连接AC、BC．
（1）当，，c=1，t=2时，探究△ABC的形状，并说明理由；
（2）若△ABC为直角三角形，求t的值（用含a的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，若点A关于y轴的对称点A’恰好在抛物线F的对称轴上，连接A’C，BD，求四边形A’CDB的面积（用含a的式子表示）

25. 难度：中等

如图所示，对称轴为x=3的抛物线y=ax²+2x与x轴相交于点B，O．
（1）求抛物线的解析式，并求出顶点A的坐标；
（2）连接AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l．点P是l上一动点．设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当0＜S≤18时，求t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当t取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使△OPQ为直角三角形且OP为直角边？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

26. 难度：中等

已知：如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴相交于两点A（1，0），B（3，0），与y轴相交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若点D（，m）是抛物线y=ax²+bx+c上的一点，请求出m的值，并求出此时△ABD的面积．

27. 难度：中等

已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点为A（3，-3），与x轴的一个交点为B（1，0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）P是y轴上一个动点，求使P到A、B两点的距离之和最小的点P的坐标．
（3）设抛物线与x轴的另一个交点为C．在抛物线上是否存在点M，使得△MBC的面积等于以点A、P、B、C为顶点的四边形面积的三分之一？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

28. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（-3，0），若将经过A、C两点的直线y=kx+b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线x=-2．
（1）求直线AC及抛物线的函数表达式；
（2）如果P是线段AC上一点，设△ABP、△BPC的面积分别为S_△ABP、S_△BPC，且S_△ABP：S_△BPC=2：3，求点P的坐标；
（3）设⊙Q的半径为1，圆心Q在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在⊙Q与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q的半径为r，圆心Q在抛物线上运动，则当r取何值时，⊙Q与两坐轴同时相切．

29. 难度：中等

如图（1），抛物线y=x²+x-4与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线y=x+b与抛物线交于点B、C．
（1）求点A的坐标；
（2）当b=0时（如图（2）），△ABE与△ACE的面积大小关系如何？当b＞-4时，上述关系还成立吗，为什么？
（3）是否存在这样的b，使得△BOC是以BC为斜边的直角三角形？若存在，求出b；若不存在，说明理由．

30. 难度：中等

如图，已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A（-4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设E是线段AB上的动点，作EF∥AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时，求E点的坐标；
（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标．