Question

如图，抛物线F：y=ax²+bx+c（a＞0）与y轴相交于点C，直线L₁经过点C且平行于x轴，将L₁向上平移t个单位得到直线L₂，设L₁与抛物线F的交点为C、D，L₂与抛物线F的交点为A、B，连接AC、BC．
（1）当，，c=1，t=2时，探究△ABC的形状，并说明理由；
（2）若△ABC为直角三角形，求t的值（用含a的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，若点A关于y轴的对称点A’恰好在抛物线F的对称轴上，连接A’C，BD，求四边形A’CDB的面积（用含a的式子表示）

Answer

（1）根据a、b、c的值，可确定抛物线的解析式，进而可求出C点的坐标；根据t的值，可确定直线L2的解析式，联立抛物线的解析式即可得到A、B的坐标；根据A、B、C三点的坐标，可求出直线AC、BC的斜率，此时发现两条直线的斜率的乘积为-1，所以它们互相垂直，由此可判定△ABC是直角三角形；
（2）根据抛物线的解析式可知：C点坐标为（0，c），那么直线L2的解析式为c+t，联立抛物线的解析式可得到关于x的方程，那么方程的两根即为A、B的横坐标，可由根与系数的关系求出AB的长；设抛物线的对称轴与L2的交点为F，根据抛物线的对称性知AF=BF即F是AB中点，若△ABC是直角三角形，则AB=2CF，由此可得到CF的表达式；设L2与y轴的交点为E，那么CE的长即为E、C纵坐标差的绝对值，EF的长即为抛物线对称轴方程的绝对值，在Rt△CEF中，根据勾股定理即可求出t的值；
（3）若A′恰好在抛物线的对称轴上，那么AB=2AA′；而A、A′关于y轴对称，那么AA′=2A′E，即AB=2A′B=4A′E；根据抛物线的对称性易知CD=2A′E，那么A′B平行且相等于CD，即四边形A′BDC是平行四边形，由AB=4EA′可求出b的值，而CD=A′B=-，平行四边形的高为t，根据平行四边形的面积计算方法即可求出四边形A′CDB的面积．
【解析】
（1）当，，c=1，
y=x2-x+1，
当t=2时，
A、B纵坐标为3，
令y=3，解得x=-1或x=4，
故A（-1，3），B（4，3），C（0，1），
AC2=12+（3-1）2=5，BC2=42+（3-1）2=20，AB2=（4+1）2=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴AC与BC垂直，
故△ABC是直角三角形．

（2）设AB交y轴于E，交抛物线对称轴于M，则M为AB中点，连接CM；
由方程c+t=ax2+bx+c得ax2+bx-t=0，
设方程的两根为x1、x2，由根与系数的关系得：
x1+x2=-，x1x2=-；
AB=|x1-x2|==；
∴CM=AB=；
在Rt△CEM中，CE=t，EM=|-|；
∴t2+|-|2=（）2，
解得t=；

（3）因为点A关于y轴的对称点A′恰好在抛物线F的对称轴上，
∴对称轴在y轴的右侧，a，b异号，
∴b＜0，且AB=4EA′；
∴=-×4，
解得b=-；
∴CD=A′B=-，
∴四边形A′CDB是平行四边形，
则它的面积为-×t=．