Question

如图所示，抛物线y=ax²+bx+c经过原点O，与x轴交于另一点N，直线y=kx+4与两坐标轴分别交于A、D两点，与抛物线交于B（1，m）、C（2，2）两点．
（1）求直线与抛物线的解析式；
（2）若抛物线在x轴上方的部分有一动点P（x，y），设∠PON=α，求当△PON的面积最大时tanα的值；
（3）若动点P保持（2）中的运动路线，问是否存在点P，使得△POA的面积等于△PON面积的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据C点的坐标可确定直线AD的解析式，进而可求出B点坐标，将B、C、O三点坐标代入抛物线中，即可求得此二次函数的解析式；
（2）此题的关键是求出P点的坐标；△PON中，ON的长为定值，若△PON的面积最大，那么P点离ON的距离最远，即P点为抛物线的顶点，根据（1）所得的抛物线解析式即可求得P点的坐标，进而可求出α的正切值；
（3）设出点P的横坐标，根据抛物线的解析式可表示出P点的纵坐标；根据直线AD和抛物线的解析式可求出A、N的坐标；以ON为底，P点纵坐标为高可得到△OPN的面积，以OA为底，P点横坐标为高可得到△OAP的面积，根据题目给出的△POA和△PON的面积关系即可求出P点的横坐标，进而可求出P点的坐标．
【解析】
（1）将点C（2，2）代入直线y=kx+4，可得k=-1
所以直线的解析式为y=-x+4
当x=1时，y=3，
所以B点的坐标为（1，3）
将B、C、O三点的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+c，
可得
解得，
所以所求的抛物线为y=-2x2+5x．

（2）因为ON的长是一定值，
所以当点P为抛物线的顶点时，△PON的面积最大，
又该抛物线的顶点坐标为（），此时tan∠PON=．

（3）存在；
把x=0代入直线y=-x+4得y=4，所以点A（0，4）
把y=0代入抛物线y=-2x2+5x
得x=0或x=，所以点N（，0）
设动点P坐标为（x，y），
其中y=-2x2+5x （0＜x＜）
则得：S△OAP=|OA|•x=2x
S△ONP=|ON|•y=•（-2x2+5x）=（-2x2+5x）
由S△OAP=S△ONP，
即2x=•（-2x2+5x）
解得x=0或x=1，舍去x=0
得x=1，由此得y=3
所以得点P存在，其坐标为（1，3）．