2009-2010学年北京市师大附中九年级（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如图，已知圆心角∠BOC=100°，则圆周角∠BAC的大小是（ ）

A．50°
B．100°
C．130°
D．200°

2. 难度：中等

抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（2，1）
B．（2，-3）
C．（2，3）
D．（-2，）

3. 难度：中等

若二次函数y=2（x-2）²-3的图象上有两个点A（5，y₁）、B（-1，y₂），则下列判断中正确的是（ ）
A．y₁＞y₂
B．y₁=y₂
C．y₁＜y₂
D．y₁，y₂的大小不确定

4. 难度：中等

在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=12，则cosA的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

若关于x的方程x²-+cosα=0有两个相等的实数根，则锐角α为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°

6. 难度：中等

如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD=10cm，AP：PB=1：5，那么⊙O的半径是（ ）

A．6cm
B．3m
C．8cm
D．5

7. 难度：中等

铁路路基横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度为2：3，上底宽是3米，路基高为4米，则路基的下底宽为（ ）
A．15米
B．12米
C．9米
D．7米

8. 难度：中等

如图，⊙O的半径为1，点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧的中点，P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为（ ）

A．1
B．
C．
D．

9. 难度：中等

某同学从右图二次函数y=ax²+bx+c的图象中，观察得出了下面的五个结论：
①c=0，②函数的最小值为-3，③a-b+c＜0，④4a+b=0，⑤b²-4ac＞0．你认为其中正确的命题有（ ）

A．5个
B．4个
C．3个
D．2个

10. 难度：中等

如图1，在直角梯形ABCD，∠B=90°，DC∥AB，动点P从B点出发，由B--C--D--A沿边运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果关于x的函数y的图象如图2，则△ABC的面积为（ ）

A．10
B．16
C．18
D．32

二、填空题

11. 难度：中等

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），其中a，b，c满足a+b+c=0和9a-3b+c=0，则该二次函数图象的对称轴是直线    ．

12. 难度：中等

将抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）向下平移3个单位，再向左平移4个单位得到抛物线y=-2x²-4x+5，则原抛物线的顶点坐标是    ．

13. 难度：中等

锐角A满足2sin（A-15°）=，则∠A=    度．

14. 难度：中等

一条弦AB将⊙O分成两条弧，其中一条弧是另一条弧的4倍，则弦AB所对的圆心角的度数是    度．

15. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，BC=，则AB=    ．

16. 难度：中等

在△ABC中，AB=2，AC=，∠B=30°，则∠BAC的度数是    ．

17. 难度：中等

数学家发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a²+b+1．例如把（3，-2）放入其中，就会得到3²+（-2）+1=8．现将实数对（-2，3）放入其中得到实数m，再将实数对（m，1）放入其中后，得到的实数是    ．

18. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出下列五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧AE是劣孤DE的2倍；⑤AE=BC．其中正确结论的序号是    ．

三、解答题

19. 难度：中等

计算：
（1）6cos30°×tan30°-2sin²45°；
（2）-（π-1）-2sin45°+tan45°．

20. 难度：中等

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD=CD，cosB=，BC=26．
求：（1）cos∠DAC的值；
（2）线段AD的长．

21. 难度：中等

如图，河对岸有一铁塔AB．在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进16米到达D，在D处测得A的仰角为45°，求铁塔AB的高．

22. 难度：中等

某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．

23. 难度：中等

如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=8，E是AC边上一点，ED⊥AB于点D，EF⊥BC于F，设AD为x，四边形EFBD的面积为y．
（1）写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）求E点在AC边上的什么位置时，四边形EFBD的面积最大，最大面积是多少？

24. 难度：中等

已知：抛物线与x轴交于A（-1，0）、B两点，点B在x轴的正半轴上，与y轴交于点C（0，-3），抛物线顶点为M，连接AC并延长AC交抛物线对称轴于点Q，且点Q到x轴的距离为6．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，求出点D的坐标．

25. 难度：中等

已知：关于x的一元二次方程mx²-（3m+2）x+2m+2=0（m＞0）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x₁，x₂（其中x₁＜x₂）．若y是关于m的函数，且y=x₂-2x₁，求这个函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时，y≤2m．

26. 难度：中等

如图，抛物线y=ax²+bx-3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB=OC=3OA．
（I）求抛物线的解析式；
（II）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（III）直线交y轴于D点，E为抛物线顶点．若∠DBC=α，∠CBE=β，求α-β的值．

27. 难度：中等

如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．