《第23章 一元二次方程》2009年单元测试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

某工厂一月份的产值是50万元，若第一季度的总产值比一月份的3倍还多32万元，求平均每月的增长率，若设平均每月增长率为x，则可得到方程为    ．

2. 难度：中等

已知关于x的方程（a²-1）x²-（a+1）x+1=0的两个实数根互为倒数，则a的值为    ．

3. 难度：中等

若关于x的方程x²-（m+2）x+m=0的根的判别式△=5，则m=    ．

4. 难度：中等

若关于x的一元二次方程（m²+1）x²-（2m+1）x+1=0有两实根，则m的取值范围是    ．

5. 难度：中等

解方程（x²-5）²-x²+3=0时，令x²-5=y，则原方程变为    ．

6. 难度：中等

一元二次方程x²-2x-3=0的解是    ．

7. 难度：中等

若方程：x²-2x-1=0的两个实数根为x₁，x₂，则x₁+x₂=    ．

8. 难度：中等

如图，有一块长30m，宽20m的矩形田地，现要修两条等宽的道路，使剩下的耕地面积为504m²，则两条道路在矩形的长和宽上截得的线段宽x为    m．

9. 难度：中等

已知关于x的二次方程（1-2k）x²-2x-1=0有实数根，则k的取值范围是    ．

10. 难度：中等

若方程x²-m=0有整数根，则m的值可以是    （只填一个）．

二、选择题

11. 难度：中等

为了解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价，若设平均每次降价百分率为x，该药品原价为m元，降价后的价格为n元，则列出关于x的一元二次方程正确的是（ ）
A．2m（1+x）=n
B．2m（1-x）=n
C．2m（1+x）²=n
D．m（1-x）²=n

12. 难度：中等

解下列方程：①3x²-27=0；②2x²-3x-1=0；③2x²-5x+2=0；④2（3x-1）²=3x-1．较简便的方法是（ ）
A．依次为：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法
B．依次为：因式分解法，公式法，配方法，直接开平方法
C．①用直接开平方法，②，③用公式法，④用因式分解法
D．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法

13. 难度：中等

若t是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根，则判别式△=b²-4ac和完全平方式M=（2at+b）²的关系是（ ）
A．△=M
B．△＞M
C．△＜M
D．大小关系不能确定

14. 难度：中等

下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．x²+x+1=0
B．x²+2x+1=0
C．x²-2x-1=0
D．x²-x-2=0

15. 难度：中等

下列方程中有实数根的是（ ）
A．x²+2x+3=0
B．x²+1=0
C．x²+3x+1=0
D．

16. 难度：中等

二元一次方程组的解是（ ）
A．
B．
C．
D．

17. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程（m-2）²x²+（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞
B．m≥
C．m＞且m≠2
D．m≥且m≠2

18. 难度：中等

钟老师出示了小黑板上的题目（如图）后，小敏回答：“方程有一根为1”，小聪回答：“方程有一根为2”，则你认为（ ）
A．只有小敏回答正确
B．只有小聪回答正确
C．小敏，小聪回答都正确
D．小敏，小聪回答都不正确

三、解答题

19. 难度：中等

用适当的方法解下列方程
（1）81x²=5；
（2）64x²-225=0；
（3）x²-3x+2=0；
（4）x²+8x=20．

20. 难度：中等

西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？

21. 难度：中等

从社会效益和经济效益出发，某地制定了三年规划，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，第一年度投入资金800万元，第二年度比第一年度减少，第三年度比第二年度减少．第一年度当地旅游业收入估计为400万元，要使三年内的投入资金与旅游业总收入持平，则旅游业收入的年平均增长率应是多少？（以下数据供选用：≈1.414，≈3.606，计算结果精确到百分位）

22. 难度：中等

已知关于x的方程（k-1）x²+（2k-3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x₁，x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
【解析】
（1）根据题意，得
△=（2k-3）²-4（k-1）（k+1）
=4k²-12k+9-4k²+4
=-12k+13＞0．
∴k＜．
∴当k＜时，方程有两个不相等的实数根．
（2）存在．如果方程的两个实数根互为相反数，则x₁+x₂==0，解得k=．
检验知k=是=0的解．
所以当k=时，方程的两实数根x₁，x₂互为相反数．
当你读了上面的解答过程后，请判断是否有错误？如果有，请指出错误之处，直接写出正确的答案．

23. 难度：中等

关于x的一元二次方程x²-kx+5（k-5）=0的两个根x₁，x₂异号，且满足2x₁+x₂=7，求k的值．

24. 难度：中等

已知x₁，x₂是关于x的方程（x-2）（x-m）=（p-2）（p-m）的两个实数根．
（1）求x₁，x₂的值；
（2）若x₁，x₂是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．