2013年北京市怀柔区中考数学一模试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

2的相反数是（ ）
A．-2
B．2
C．-
D．

2. 难度：中等

2012年“博爱在京城”募捐救助活动中，我区红十字会共接收社会各界募捐款近980000元，980000用科学记数法表示为（ ）
A．98×10⁵
B．9.8×10⁴
C．9.8×10⁵
D．9.8×10⁶

3. 难度：中等

一个正多边形的每个外角是36°，这个正多边形的边数是（ ）
A．10
B．9
C．8
D．7

4. 难度：中等

如图，下列水平放置的几何体中，左视图不是矩形的是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

有8个型号相同的足球，其中一等品5个，二等品2个和三等品1个，从中随机抽取1个足球，恰好是一等品的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

关于x的方程（a-2）x²-2x-3=0有一根为3，则另一根为（ ）
A．-1
B．3
C．2
D．1

7. 难度：中等

我市连续十天的空气污染指数的数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物，又称PM10）：61，75，70，56，81，90，92，91，76，81．那么该组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．92，75
B．81，81
C．81，78
D．78，81

8. 难度：中等

如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D与点F重合，点B，D（F），H在同一条直线上，将正方形ABCD沿F⇒H方向平移至点B与点H重合时停止，设点D、F之间的距离为x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

分解因式：2x²-4x+2=    ．

10. 难度：中等

如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，则∠E的度数为    ．

11. 难度：中等

如图是某太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB=150cm，∠BAC=30°，另一根辅助支架DE=76cm，∠CED=60°．则水箱半径OD的长度为    cm．（结果保留根号）

12. 难度：中等

如图，△ABC是一个边长为2的等边三角形，AD⊥BC，垂足为点D．过点D作DD₁⊥AB，垂足为点D₁；再过点D₁作D₁D₂⊥AD，垂足为点D₂；又过点D₂作D₂D₃⊥AB，垂足为点D₃；…；这样一直作下去，得到一组线段：DD₁，D₁D₂，D₂D₃，…，则线段D₁D₂的长为    ，线段D_n-1D_n的长为    （n为正整数）．

三、解答题

13. 难度：中等

计算：．

14. 难度：中等

解不等式组

15. 难度：中等

先化简，再求值：，其中x满足x²-x-1=0．

16. 难度：中等

如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别过点C、B作射线AD的垂线段，垂足分别为E、F．求证：BF=CE．

17. 难度：中等

已知反比例函数y=（m为常数）的图象经过点A（-1，6）．
（1）求m的值；
（2）如图，过点A作直线AC与函数y=的图象交于点B，与x轴交于点C，且AB=2BC，求点C的坐标．

18. 难度：中等

某商店经销一种T恤衫，4月上旬的营业额为2000元，为扩大销售量，4月中旬该商店对这种T恤衫打9折销售（原销售价格的90%），结果销售量增加20件，营业额增加700元．求该种T恤衫4月上旬的销售价格．

19. 难度：中等

将一副三角板如图拼接：含30°角的三角板（△ABC）的长直角边与含45°角的三角板（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB=2，P是AC上的一个动点，连接DP．
（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，求DP的长；
（2）当点P在运动过程中出现PD=BC时，求此时∠PDA的度数．

20. 难度：中等

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求证：∠PCB=∠A； 
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）若点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，求证：AM²=MN•MC．

21. 难度：中等

我区开展“体育、艺术2+1”活动，各校学生坚持每天锻炼，某校根据实际情况，决定主要开设A：乒乓球，B：篮球，C：跑步，D：跳绳四种运动项目．为了解学生最喜欢哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下统计图．请你结合图中信息解答下列问题：
（1）样本中最喜欢B项目的人数百分比是______，其所在扇形图中的圆心角的度数是______；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）已知该校有1000人，请根据样本估计全校最喜欢乒乓球的人数是多少？

22. 难度：中等

我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等．一条直线l与方形环的边线有四个交点M、M′、N′、N、小明在探究线段MM′与N′N的数量关系时，从点M′、N′向对边作垂线段M′E、N′F，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题、请你参考小明的思路解答下列问题：
（1）当直线l与方形环的对边相交时（如图1），直线l分别交AD、A′D'、B′C′、BC于M、M′、N′、N，小明发现MM′与N′N相等，请你帮他说明理由；
（2）当直线l与方形环的邻边相交时（如图2），l分别交AD、A′D′、D′C′、DC于M、M′、N′、N，l与DC的夹角为α，你认为MM′与N′N还相等吗？若相等，说明理由；若不相等，求出的值（用含α的三角函数表示）．

23. 难度：中等

已知关于x的方程kx²+（3k+1）x+3=0．
（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）若二次函数y=kx²+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，求k值；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围．

24. 难度：中等

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC，AB=AN，连结CD、BN，CD的延长线交BN于点F．
（1）当∠ADN等于多少度时，∠ACE=∠EBF，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，设∠ABC=α，∠CAD=β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE≌△FBE，并说明理由．

25. 难度：中等

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（2，0），C（0，-2），直线x=m（m＞2）与x轴交于点D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线x=m（m＞2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．