Question

将一副三角板如图拼接：含30°角的三角板（△ABC）的长直角边与含45°角的三角板（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB=2，P是AC上的一个动点，连接DP．
（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，求DP的长；
（2）当点P在运动过程中出现PD=BC时，求此时∠PDA的度数．

Answer

（1）作DF⊥AC，在直角△BCP中，求得PC的长，而PF=CF-PC，则PF的长可以求得，然后在直角△DFP中利用勾股定理即可求解；
（2）作DF⊥AC，则P可以在F的左右两边，分两种情况进行讨论，与（1）的解法相同．
【解析】
（1）在Rt△ABC中，AB=2，∠BAC=30°
∴BC=，AC=3．
如图（1），作DF⊥AC
∵Rt△ACD中，AD=CD
∴DF=AF=CF=，
∵BP平分∠ABC
∴∠PBC=30°
∴CP=BC•tan30°=1
∴PF=
∴DP==．

（2）当P点位置如图（2）所示时，
根据（1）中结论，DF=，∠ADF=45°
又PD=BC=
∴cos∠PDF==
∴∠PDF=30°
∴∠PDA=∠ADF-∠PDF=15°
当P点位置如图（3）所示时，
同（2）可得∠PDF=30°．
∴∠PDA=∠ADF+∠PDF=75°．