1. 难度:中等 | |
(2013•徐州模拟)如图1,在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB,PB=PC,连接AC、PD. (1)求证:△APB≌△DPC; (2)求证:∠PAC=∠BAP; (3)若将原题中的正方形ABCD变为等腰梯形ABCD(如图2),AD∥BC,且BA=AD=DC,形内一点P仍满足AP=AB,PB=PC,试问(2)中结论还成立吗?若成立请给予证明;若不成立,请说明理由. |
2. 难度:中等 | |
(2008•盐城)如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF. 解答下列问题: (1)如果AB=AC,∠BAC=90°, ①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图乙,线段CF,BD之间的位置关系为______,数量关系为______. ②当点D在线段BC的延长线时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么? (2)如果AB≠AC,∠BAC≠90°,点D在线段BC上运动. 试探究:当△ABC满足一个什么条件时,CF⊥BC(点C,F重合除外)画出相应图形,并说明理由.(画图不写作法) (3)若AC=2,BC=3,在(2)的条件下,设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P,求线段CP长的最大值. |
3. 难度:中等 | |
(2008•宁德)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE. (1)求证:CE=CF; (2)在图1中,若G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么? (3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题: 如图2,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC=12,E是AB上一点,且∠DCE=45°,BE=4,求DE的长. |
4. 难度:中等 | |
(2010•通化)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,D,E分别是边AB,AC的中点,点P从点D出发沿DE方向运动,过点P作PQ⊥BC于Q,过点Q作QR∥BA交AC于R,当点Q与点C重合时,点P停止运动.设BQ=x,QR=y. (1)求点D到BC的距离DH的长; (2)求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围); (3)是否存在点P,使△PQR为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的x的值;若不存在,请说明理由. |
5. 难度:中等 | |
如图1,点A是△ABC和△ADE的公共顶点,∠BAC+∠DAE=180°,AB=k•AE,AC=k•AD,点M是DE的中点,直线AM交直线BC于点N. (1)探究∠ANB与∠BAE的关系,并加以证明. 说明:如果你经过反复探索没解决问题,可以从下面①②中选取一个作为已知条件,再完成你的证明,选取①比选原题少得2分,选取②比选原题少得5分. ①如图2,k=1;②如图3,AB=AC. (2)若△ADE绕点A旋转,其他条件不变,则在旋转的过程中(1)的结论是否发生变化?如果没有发生变化,请写出一个可以推广的命题;如果有变化,请画出变化后的一个图形,并直接写出变化后∠ANB与∠BAE的关系. |
6. 难度:中等 | |
(2008•台州)CD经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB.E,F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α. (1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在射线CD上,请解决下面两个问题: ①如图1,若∠BCA=90°,∠α=90°, 则BE______CF;EF______|BE-AF|(填“>”,“<”或“=”); ②如图2,若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件______,使①中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立. (2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明). |
7. 难度:中等 | |
(2009•崇文区一模)在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为△ABC外一点,且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC.探究:当M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系. (1)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是______;此时=______; (2)如图2,点M、N边AB、AC上,且当DM≠DN时,猜想(1)问的两个结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明; (3)如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,若AN=x,则Q=______(用x、L表示). |
8. 难度:中等 | |
(2009•延庆县一模)如图1,正方形ABCD和正方形QMNP,M是正方形ABCD的对称中心,MN交AB于F,QM交AD于E. (1)猜想:ME与MF的数量关系; (2)如图2,若将原题中的“正方形”改为“菱形”,且∠M=∠B,其它条件不变,探索线段ME与线段MF的数量关系,并加以证明; (3)如图3,若将原题中的“正方形”改为“矩形”,且AB:BC=1:2,其它条件不变,探索线段ME与线段MF的数量关系,并说明理由; (4)如图4,若将原题中的“正方形”改为平行四边形,且∠M=∠B,AB:BC=m,其它条件不变,求出ME:MF的值.(直接写出答案) |
9. 难度:中等 | |
(2005•青岛)操作:在△ABC中,AC=BC=2,∠C=90°,将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处,将三角板绕点P旋转,三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点.图1,2,3是旋转三角板得到的图形中的3种情况. 研究: (1)三角板绕点P旋转,观察线段PD和PE之间有什么数量关系,并结合图2加以证明; (2)三角板绕点P旋转,△PBE是否能成为等腰三角形?若能,指出所有情况(即写出△PBE为等腰三角形时CE的长);若不能,请说明理由; (3)若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处,且AM:MB=1:3,和前面一样操作,试问线段MD和ME之间有什么数量关系?并结合图4加以证明. |
10. 难度:中等 | |
(2005•泰州)图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起(C与C′重合). (1)操作:固定△ABC,将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE,连接AD、BE,CE的延长线交AB于F(图2); 探究:在图2中,线段BE与AD之间有怎样的大小关系?试证明你的结论. (2)操作:将图2中的△CDE,在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移,平移后的△CDE设为△PQR(图3); 探究:设△PQR移动的时间为x秒,△PQR与△ABC重叠部分的面积为y,求y与x之间的函数解析式,并写出函数自变量x的取值范围. (3)操作:图1中△C′D′E′固定,将△ABC移动,使顶点C落在C′E′的中点,边BC交D′E′于点M,边AC交D′C′于点N,设∠AC C′=α(30°<α<90°(图4); 探究:在图4中,线段C′N•E′M的值是否随α的变化而变化?如果没有变化,请你求出C′N•E′M的值,如果有变化,请你说明理由. |
11. 难度:中等 | |
请阅读下列材料: 已知:如图(1)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E分别为线段BC上两动点,若∠DAE=45°.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是:把△AEC绕点A顺时针旋转90°,得到△ABE′,连接E′D,使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题: (1)猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式,直接写出你的猜想; (2)当动点E在线段BC上,动点D运动在线段CB延长线上时,如图(2),其它条件不变,(1)中探究的结论是否发生改变?请说明你的猜想并给予证明; (3)已知:如图(3),等边三角形ABC中,点D、E在边AB上,且∠DCE=30°,请你找出一个条件,使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形,并求出此时等腰三角形顶角的度数. |
12. 难度:中等 | |
(2009•门头沟区一模)如图1,在△ACB和△AED中,AC=BC,AE=DE,∠ACB=∠AED=90°,点E在AB上,F是线段BD的中点,连接CE、FE. (1)请你探究线段CE与FE之间的数量关系(直接写出结果,不需说明理由); (2)将图1中的△AED绕点A顺时针旋转,使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上(如图2),连接BD,取BD的中点F,问(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由; (3)将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度(如图3),连接BD,取BD的中点F,问(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由. |
13. 难度:中等 | |
如图①,已知△ABC中,AB=AC,点P是BC上的一点,PN⊥AC于点N,PM⊥AB于点M,CG⊥AB于点G,则CG=PM+PN. (1)如图②,若点P在BC的延长线上,则PM、PN、CG三者是否还有上述关系,若有,请说明理由,若没有,猜想三者之间又有怎样的关系,并证明你的猜想; (2)如图③,AC是正方形ABCD的对角线,AE=AB,点P是BE上任一点,PN⊥AB于点N,PM⊥AC于点M,猜想PM、PN、AC有什么关系;(直接写出结论) (3)观察图①、②、③的特性,请你根据这一特性构造一个图形,使它仍然具有PM、PN、CG这样的线段,并满足图①或图②的结论,写出相关题设的条件和结论 . |