已知在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD， PA=AD...

已知在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，
PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的正切值；
（Ⅲ）求二面角P-EC-D的正切值．

（Ⅰ）取PC的中点O，连接OF、OE．可得FO∥DC，且FO=DC，又FO=AE．AF∥OE又OE⊂平面PEC，AF⊄平面PEC，可得线面平行．（Ⅱ）PA⊥平面ABCD可得∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的角．在Rt△PAC中，．（Ⅲ）作AM⊥CE，交CE的延长线于M．连接PM，得PM⊥CE，∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角．【解析】（Ⅰ）取PC的中点O，连接OF、OE． ∴FO∥DC，且FO=DC ∴FO∥AE 又E是AB的中点．且AB=DC． ∴FO=AE． ∴四边形AEOF是平行四边形． ∴AF∥OE又OE⊂平面PEC，AF⊄平面PEC ∴AF∥平面PEC （Ⅱ）连接AC ∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的角在Rt△PAC中，即直线PC与平面ABCD所成的角正切为（Ⅲ）作AM⊥CE，交CE的延长线于M．连接PM，由三垂线定理，得PM⊥CE ∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角由△AME∽△CBE，可得， ∴ ∴二面角P一EC一D的正切为

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等