已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=x2+2ax+1（a为正实数），且函数f...

（1）由已知中函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等，结合函数f（x）=|x-a|，g（x）=x2+2ax+1（a为正常数），我们可以构造关于a的方程，解方程可以求出a的值； （2）确定函数解析式，利用不动点的定义，可得实数b的取值范围； （3）由于n为正整数，因此当1≤n≤3时，G（n）单调递增；当n≥4时，G（n）单调递减，可得G（n）的最大值是max{G（3），G（4）}，从而不等式得到证明． （1）【解析】 ∵函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等，∴f（0）=g（0），即|a|=1． 又a＞0，∴a=1．                      …（2分） （2）【解析】 由（1）知，． 当x≥1时，若f（x）+g（x）+b存在不动点，则有x2+3x+b=x，即b=-x2-2x=-（x+1）2+1．                   …（3分） ∵x≥1，∴-（x+1）2+1≤-3，此时b≤-3．       …（4分） 当x＜1时，若f（x）+g（x）+b存在不动点，则有x2+x+2+b=x，即b=-x2-2…（5分） ∵x＜1，∴-x2-2≤-2，此时b≤-2．            …（6分） 故要使得f（x）+g（x）+b在其定义域内存在不动点，则实数b的取值范围应为（-∞，-2]．  …（7分） （3）证明：设． 因为n为正整数， ∴．                    …（8分） ∴．     …（9分） 当时，，即，亦即，∴．                        …（11分） 由于n为正整数，因此当1≤n≤3时，G（n）单调递增；当n≥4时，G（n）单调递减． ∴G（n）的最大值是max{G（3），G（4）}．                      …（12分） 又，， …（13分） ∴G（n）≤G（4）＜4．                            …（14分）