如图，在以点O为圆心，AB为直径的半圆中，D为半圆弧的中心，P为半圆弧上一点，且...

如图，在以点O为圆心，AB为直径的半圆中，D为半圆弧的中心，P为半圆弧上一点，且AB=4，∠POB=30°，双曲线C以A，B为焦点且经过点P．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求双曲线C的方程；
（2）设过点D的直线l与双曲线C相交于不同两点E、F，若△OEF的面积不小于 manfen5.com 满分网

，求直线l的斜率的取值范围．

（1）法一：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则点A（-2，0），B（2，0），P，则2a=|PA|-|PB|，2c=|AB|．由此能求出双曲线C的方程．法二：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则点A（-2，0），B（2，0），P．设双曲线C的方程为，则，由此能求出双曲线C的方程．（2）设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程，得（1-k2）x2-4kx-6=0．由直线l与双曲线C相交于不同两点E、F，能求出直线l的斜率的取值范围．【解析】（1）方法一：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则点A（-2，0），B（2，0），P．设双曲线实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则，2c=|AB|=4．所以，c=2，从而b2=c2-a2=2．故双曲线C的方程是…（6分）方法二：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则点A（-2，0），B（2，0），P．设双曲线C的方程为，则，解得a2=b2=2，故双曲线C的方程是． …（6分）（2）据题意可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程得，x2-（kx+2）2=2，即（1-k2）x2-4kx-6=0．因为直线l与双曲线C相交于不同两点E、F，则，即，设点E（x1，y1），F（x2，y2），则．所以 =．又原点O到直线l的距离．（11分）所以．因为，则，解得．综上分析，直线l的斜率的取值范围是…（14分）

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等