在△ABC中，内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，已知a2-c2=b，且si...

在△ABC中，内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，已知a²-c²=b，且sinAcosC=3cosAsinC，则b= ．

解法一：利用余弦定理分别表示出cosC和cosA，并利用正弦定理化简已知的等式sinAcosC=3cosAsinC，将表示出cosC和cosA代入，整理后再将a2-c2=b代入，可得出关于b的方程，求出方程的解即可得到b的值；解法二：由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，变形后将a2-c2=b代入，再根据b不为0，两边除以b后，得到一个关系式，记作①，将sinAcosC=3cosAsinC两边都加上cosAsinC，左边利用两角和与差的正弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，并根据正弦定理化简后，得到另外一个关系式，记作②，联立①②就求出b的值．【解析】法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：2（a2-c2）=b2，又a2-c2=b， ∴2b=b2，解得：b=2或b=0（舍），则b的值为2；法二：由余弦定理得：a2-c2=b2-2bccosA，又a2-c2=b，b≠0， ∴b=2ccosA+1①，又sinAcosC=3cosAsinC， ∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinC， sin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC，由正弦定理得， ∴b=4ccosA②，由①②，解得b=2，则b的值为2．故答案为：2

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考点分析：

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试题属性

题型：填空题
难度：中等