已知奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），给出以下命题： ①函数f（x）...

已知奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），给出以下命题：
①函数f（x）是周期为2的周期函数；
②函数f（x）的图象关于直线x=1对称；
③函数f（x）的图象关于点（k，0）（k∈Z）对称；
④若函数f（x）是（0，1）上的增函数，则f（x）是（3，5）上的增函数，其中正确命题有．

利用奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），对该函数的周期性、对称性及单调性进行分析，即可判断①②③④中的正误．【解析】 ∵f（x+1）=f（x-1）， ∴f（x）=f（x+2）， ∴①函数f（x）是周期为2的周期函数，即①正确；又f（x）=-f（-x）， ∴f（x+1）=f（x-1）=-f（1-x）≠f（1-x）， ∴函数f（x）的图象不关于直线x=1对称，故②错误；又f（x）=f（x+2k）， ∴f（x-k）=f（x+k）=-f（k-x）， ∴f（k+x）=-f（k-x）， ∴f（x）关于点（k，0）对称，即③正确；对于④，∵f（x）在（0，1）单调递增，f（x）为奇函数， ∴f（x）在（-1，0）上单调递增，又函数f（x）是周期为2的周期函数， ∴f（x）在（1，2）单调递增，f（x）在（2，3）上单调递增，但不能确定f（x）在（1，3）的单调性．由上面的分析可得，f（x）在（3，5）的单调性与（1，3）的单调性相同，故④错误；综上所述，①③正确．故答案为：①③．

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考点分析：

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