已知函数是奇函数，f（-1）=-2，f（2）＜3．（1）求函数f（x）解析式；...

已知函数

是奇函数，f（-1）=-2，f（2）＜3．
（1）求函数f（x）解析式；
（2）若g（x）=x•f（x），ϕ（x）=g[g（x）]-λg（x），试问：是否存在实数λ，使∅（x）在（-∞，-1）内是单调递减，在（-1，0）内是单调递增的，若存在，求λ值；若不存在，说明理由．
（3）附加题：若 manfen5.com 满分网

，研究函数m（x），写出m（x）性质，并画出图象．

（1）由题意可得f（-x）=-f（x），即可求c，再由f（-1）=-2，f（2）＜3结合a，b∈Z 可求a，b，进而可求f（x）（2）由（1）可得g（x）=xf（x）=1+x2，则∅（x）=g[g（x）]-λg（x）=x4+（2-λ）x2+2-λ，对函数求导可得∅′（x）=4x3+2（2-λ）x，若使函数∅（x）在（-∞，-1）内是单调递减，在（-1，0）内是单调递增，则∅；（-1）=0即-4-2（2-λ）=0，可求λ，代入检验是否符合题意（3）m（x）=f（x）-=，从函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等方面研究函数的性质【解析】（1）∵函数是奇函数， ∴f（-x）=-f（x）即 ∴c=0，f（x）= ∵f（-1）=-2，f（2）＜3． ∴ ∵ ∴，解得-1＜a＜2 ∵a∈Z ∴a=0或a=1 当a=0时，b= 当a=1时，b=1，满足题意，此时f（x）= （2）∵g（x）=xf（x）=1+x2， ∅（x）=g[g（x）]-λg（x）=g（1+x2）-λ（1+x2）=1+（1+x2）2-λ（1+x2） =x4+（2-λ）x2+2-λ ∴∅′（x）=4x3+2（2-λ）x 若使函数∅（x）在（-∞，-1）内是单调递减，在（-1，0）内是单调递增则∅；（-1）=0即-4-2（2-λ）=0 ∴λ=4，此时∅（x）=x4-2x2-2，∅′（x）=4x3-4x=4x（x-1）（x+1） ∅′（x）＞0可得x＞1或-1＜x＜0，即函数在（1，+∞），（-1，0）单调递增 ∅′（x）＜0可得0＜x＜1或x＜-1即函数在（0，1），（-∞，-1）单调递减使∅（x）在（-∞，-1）内是单调递减，在（-1，0）内是单调递增的λ=4 （3）m（x）=f（x）-=，图象如右定义域：（-∞，0）∪（0，+∞）值域：R 奇偶性：m（-x）=-x+=-m（x），函数为奇函数单调性：在（-∞，0），（0，+∞）上单调递增

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考点分析：

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（3）定义函数 manfen5.com 满分网

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的值域为B，且A∩B=A，求实数m的取值范围．

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若函数

是R上的单调递增函数，则a的取值范围是．查看答案

试题属性

题型：解答题
难度：中等

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