Question

已知函数f（x）是R上的单调函数，且对任意a∈R，有f（a）+f（-a）=0且 f（-3）=2．
（1）试判定函数f（x）在R上的单调性，并说明理由；
（2）对∀x，x₁，x₂∈[-3，0）∪（0，3]都有kx²-4x+k+4≥|f（x₁）-f（x₂）|恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（1）由于函数f（x）是R上的单调函数，利用两个特殊点的函数值，即可确定函数的单调性；
（2）先确定函数f（x）在定义域上的最大值为2，最小值为-2，要使∀x∈R，x1，x2∈[-3，0）∪（0，3]都有kx2-4x+k+4≥|f（x1）-f（x2）|恒成立，则∀x∈R，kx2-4x+k+4≥|2-（-2）|恒成立，再进行分类讨论即可．
【解析】
（1）∵f（a）+f（-a）=0且 f（-3）=2．
∴f（3）=-2
∵-3＜3，2＞-2，函数f（x）是R上的单调函数，
∴函数f（x）是R上的单调递减函数；
（2）∵x1，x2∈[-3，0）∪（0，3]，函数f（x）是R上的单调递减函数；
∴函数f（x）在定义域上的最大值为2，最小值为-2，
要使∀x∈R，x1，x2∈[-3，0）∪（0，3]都有kx2-4x+k+4≥|f（x1）-f（x2）|恒成立，
则∀x∈R，kx2-4x+k+4≥|2-（-2）|恒成立
即∀x∈R，kx2-4x+k≥0恒成立
当k=0时，-4x≥0不恒成立
当k≠0时，，即，∴k≥2
∴实数k的取值范围为[2，+∞）