已知椭圆C1的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，且经过点．（Ⅰ）求椭圆C1的...

已知椭圆C₁的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为 manfen5.com 满分网

，且经过点

．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）已知椭圆C₂的长轴和短轴都分别是椭圆C₁的长轴和短轴的m倍（m＞1），中心在原点，焦点在y轴上．过点C（-1，0）的直线l与椭圆C₂交于A、B两个不同的点，若 manfen5.com 满分网

，求△OAB的面积取得最大值时的直线的方程．

（I）设椭圆C1的方程，由及椭圆过M（）可得a，b之间的关系，从而可求a，b，进而可求椭圆的方程（Ⅱ），设椭圆C2的方程为A（x1，y1），B（x2，y2）由m＞1知点C（-1，0）在椭圆内部，直线l与椭圆必有两个不同的交点，当直线l垂直与x轴时，不合条件．故设直线l为y=k（x+1）（A、B、O三点不共线，故k≠0），联立直线与椭圆方程，根据方程的根与系数关系可求y1+y2，由，可得y1=-2y2…（从而可求y2，而△OAB的面积，代入利用基本不等式可求面积的最大值及k 【解析】（I）设椭圆C1的方程 ∵ ∴4a2=9b2 ∵椭圆过M（） ∴ ∴b2=4，a2=9 ∴椭圆的方程（6分）（Ⅱ），设椭圆C2的方程为A（x1，y1），B（x2，y2）．…（7分） ∵m＞1 ∴点C（-1，0）在椭圆内部，直线l与椭圆必有两个不同的交点当直线l垂直与x轴时，（不是零向量），不合条件．故设直线l为y=k（x+1）（A、B、O三点不共线，故k≠0）…（8分） …（9分） ∵，而点C（-1，0）， ∴（-1-x1，-y1）=2（x2+1，y2） ∴y1=-2y2…（10分） ∴．于是，△OAB的面积 =．其中，上式取等号的条件是，即时，△OAB的面积取得最大值．所以直线的方程为…（14分）

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考点分析：

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．则点C的轨迹方程是．查看答案

试题属性

题型：解答题
难度：中等

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