Question

在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=DC，E为PD中点．
（Ⅰ）求证：AE∥平面PBC；
（Ⅱ）求证：平面ADP⊥平面PDC．

Answer

（I）取PC的中点M，连接EM，利用△PCE的中位线，得到EM∥CD，EM=DC，再结合CD∥AB且AB=DC，得到四边形ABME是平行四边形．从而得出AE∥BM，最后用线面平行的判定定理可以证出AE∥平面PBC；
（II）利用线面垂直的性质结合AB∥CD，得到CD⊥平面PBC，从而得出CD⊥BM，再结合PC⊥BM，利用线面垂直的判定定理，得到BM⊥平面PDC，最后结合AE∥BM，得到AE⊥平面PDC，结合平面与平面垂直的判定定理，可得平面ADP⊥平面PDC．
证明：（Ⅰ）取PC的中点M，连接EM，…（2分）
∵△PCE中，E、M分别为PD、PC的中点
∴EM∥CD，EM=DC，
又∵CD∥AB且AB=DC，
∴EM∥AB，EM=AB，
∴四边形ABME是平行四边形．
∴AE∥BM，
∵AE⊄平面PBC，AE⊂平面PBC
∴AE∥平面PBC．…（7分）
（Ⅱ）∵AB⊥平面PBC，AB∥CD，
∴CD⊥平面PBC，
结合BM⊂平面PBC，所以CD⊥BM．
∵在正△PBC中，M是PC中点
∴BM⊥PC，
∵CD∩PC=C，CD、PC⊂平面PDC，
∴BM⊥平面PDC，
又∵AE∥BM，
∴AE⊥平面PDC
∵AE⊂平面ADP，
∴平面ADP⊥平面PDC…（14分）