数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn+1=2Sn+n+1，n∈N． （...

（Ⅰ）由a1=1，Sn+1=2Sn+n+1，知Sn+1+（n+1）+2=2（Sn+n+2），所以Sn=2n+1-n-2．由此能求出an． （Ⅱ）由an=2n-1，知==，所以，由错位相减法得到，由此能够证明Tn＜2． 【解析】 （Ⅰ）∵a1=1，Sn+1=2Sn+n+1， ∴Sn+1+（n+1）+2=2（Sn+n+2）， 并且S1+1+2=1+1+2=4，数列{Sn+n+1}组成一个以4为首项，2为公比的等比数列， ∴Sn+n+1=4×2n-1=2n+1， Sn=2n+1-n-2． ∴a1=S1=22-1-2=1， an=Sn-Sn-1 =（2n+1-n-2）-（2n-n-1）=2n-1， 当n=1时，2n-1=1=a1， ∴an=2n-1． （Ⅱ）∵an=2n-1， ∴==， ∴，① ，② ①-②，得- = =1--， ∴ ∴Tn＜2．