已知函数，a∈R． （Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x...

（Ⅰ）导数在切点处的导数值是切线斜率，垂直的直线斜率互为负倒数． （Ⅱ）导数大于0，对应区间为单调递增区间；导数小于0，对应区间为单调递减区间 （Ⅲ）用导数研究函数的单调性，求函数的最值，证明不等式． 【解析】 （Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，． 又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y=0垂直， 所以f'（1）=a+1=2， 即a=1． （Ⅱ）由于． 当a≥0时，对于x∈（0，+∞），有f'（x）＞0在定义域上恒成立， 即f（x）在（0，+∞）上是增函数． 当a＜0时，由f'（x）=0，得． 当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增； 当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减． （Ⅲ）当a=1时，x∈[2，+∞）． 令．． 当x＞2时，g′（x）＜0，g（x）在（2，+∞）单调递减． 又g（2）=0，所以g（x）在（2，+∞）恒为负． 所以当x∈[2，+∞）时，g（x）≤0． 即． 故当a=1，且x≥2时，f（x-1）≤2x-5成立．