已知函数f（x）=，g（x）和f（x）的图象关于原点对称．（I）求函数g（x）...

已知函数f（x）=

，g（x）和f（x）的图象关于原点对称．
（I）求函数g（x）的解析式；
（II）试判断g（x）在（-1，0）上的单调性，并给予证明；
（III）将函数g（x）的图象向右平移a（a＞0）个单位，再向下平移b（b＞0）个单位，若对于任意的a，平移后gf（x）和f（x）的图象最多只有一个交点，求b的最小值．

（I）因为g（x）和f（x）的图象关于原点对称，所以g（x）=-f（-x），把f（x）的解析式代入即可确定出g（x）的解析式；（II）g（x）在（-1，0）上单调递减，理由如下：在（-1，0）任取两个值x1和x2，且x1小于x2，然后判断g（x1）与g（x2）的差为正数，即可得到g（x）在（-1，0）上单调递减；（III）由第二问得到g（x）在（-1，0）上单调递减，且g（x）与f（x）关于原点对称，要使得平移后2个函数的图象最多只有一个交点，只需将g（x）图象向下平移两个单位，因此得到b的最小值为2．【解析】（I）由g（x）和f（x）的图象关于原点对称，得到g（x）=-f（-x）=-（）=-x2++4，（x＜0）；（2分）（II）g（x）在（-1，0）上单调递减．证明：任意取x1，x2∈（-1，0）且x1＜x2，则＞2，x1+x2＞-2， ∵g（x1）-g（x2）=（x2-x1）（x1+x2+）＞0，所以g（x）在（-1，0）上递减；（6分）（III）同理可知g（x）在（-∞，-1）上递增，且g（x）和f（x）关于原点对称．故要使得平移后2个函数的图象最多只有一个交点，则只需要将g（x）向下平移2个单位，因此b的最小值为2．（10分）

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等

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