Question

若函数f（x）=4×9^-|x-2|-2（P-2）×3^-|x-2|-2P²-P+1在区间[2，+∞）内至少存在一个实数c使f（c）＞0，则实数P的取值范围是    ．

Answer

用还原法得到函数g（t）=4t2-2（p-2）t-2p2-p+1，t∈（0，1]，原题等价于在区间（0，1]内至少存在一个实数c使g（c）＞0，因为g（t）图象开口向上所以只要g（1）或者g（0）大于0即可．
【解析】
设t=3-|x-2|因为x∈[2，=∞）所以t∈（0，1]
所以g（t）=4t2-2（p-2）t-2p2-p+1，t∈（0，1]
所以原题等价为：在区间（0，1]内至少存在一个实数c使g（c）＞0
∵g（t）图象开口向上
∴只要g（1）或者g（0）大于0即可
所以
解得
所以实数P的取值范围是（-3，3/2）．
故答案为：（-3，3/2）．