Question

f（x）=x²-x+b，且f（log₂a）=b，log₂f（a）=2（a≠1），
（1）求f（log₂x）的最小值；
（2）当x取何值时，f（log₂x）＞f（1）且log₂[f（x）]=＜f（1）．

Answer

（1）由已知中f（x）=x2-x+b，且f（log2a）=b，log2f（a）=2（a≠1），我们可以构造一个关于a，b的方程组，解方程组，求出满足条件的a，b的值，即可得到函数f（x）的解析式，结合对数函数的值域和二次函数的最小值，即可求出f（log2x）的最小值；
（2）联立f（log2x）＞f（1）且log2[f（x）]=＜f（1）．我们可以得到一个关于x的不等式组，根据对数的运算性质及一元二次不等式的解法，解不等式组，即可得到满足条件的x的取值范围．
【解析】
（I）∵log2f（a）=2
∴f（a）=4，即a2-a+b=4①
又∵f（log2a）=b，
∴（log2a）2-（log2a）=+b=2②
解得：a=2，b=2
∴f（x）=x2-x+2，
因为log2x∈R，
所以当x=时，f（log2x）取最小值为（4分）
（II）若f（log2x）＞f（1）且log2[f（x）]=＜f（1）．
则f（log2x）2-log2x＞0且x2-x＜2
解得x∈（0，1）